偏微分方程数值解.doc

《偏微分方程数值解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、一类二阶常微分方程的差分格式1.引言考虑二阶常微分边值问题：⑴最简形：(1.1)(1.2)其中为上已知的连续函数，为已知常数。⑵变系数：(2.1)(2.2)其中为上已知的连续函数，为已知常数。⑶守恒形：(2.3)(2.4)其中为上已知的连续函数，为已知常数。2.差分格式将区间分成N等分（N为正整数），则对步长，将进行网格剖分，则网格节点为.⑴最简形：对充分光滑的解，由Taylor展开式在处展开得：①②由①+②：③④⑤用二阶差商代替点处二阶导数得到：⑥带入原方程：，⑦其中.则当时，是的二阶无穷小量，舍

2、去即得到逼近方程的差分方程：⑧即为截断误差。考虑到边值条件，组成关于的差分格式：⑨其解是于的近似，称⑨为逼近。⑵变系数：对充分光滑的解，由Taylor展开式在处展开得：①②由①-②：③④用一阶差商代替点处一阶导数得到：⑤带入原方程得到⑥：其中.则当时，是的二阶无穷小量，舍去即得到逼近方程的差分方程：⑦即为截断误差。考虑到边值条件，组成关于的差分格式：⑧其解是于的近似，称⑨为逼近。⑶守恒形：对充分光滑的解，由Taylor展开式在处展开得：①②由①-②：③④用一阶差商代替点处一阶导数得到：⑤同理得到点处

3、一阶导数⑥：用二阶差商代替点处二阶导数得到⑦：带入原方程得到：，其中.则当时，是的二阶无穷小量，舍去即得到逼近方程的差分方程：⑧即为截断误差。考虑到边值条件，组成关于的差分格式：⑨其解是于的近似，称⑨为逼近。3.格式求解⑴最简形：⑩考虑与⑩可写为⑵变系数：⑩考虑与⑩可写为⑶守恒形：⑩考虑与⑩可写为4.数值例子⑴最简形：计算如下两点边值问题：其精确解为。将区间做N等分，记.绝对误差最大值记为.表1列出了4个结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解。表2给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的绝对误差。

4、表3给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的最大误差图1给出了取不同步长时所得的数值解曲线。图2给出了精确解曲线和取h=π/10时所得数值解曲线。图3给出了取不同步长时所得数值解的误差曲线。表1部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解hxπ/52π/53π/54π/5π/101.3173.7426.2747.625π/201.2203.3116.8907.308π/401.8123.1516.5947.715π/801.5123.7326.0827.087π/1601.4983.5986.652

5、7.735精确解1.2513.7926.4477.747表2取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值hxπ/52π/53π/54π/5π/100.0.0.0.π/200.0.0.0.π/400.0.0.0.π/805.e-040.0.0.π/1601.e-042.e-043.e-043.e-04表3取不同步长时部分结点处数值解的最大误差hπ/100.*π/200.3.9988π/400.3.9884π/800.4.0003π/1603.e-044.0000图1图2图3⑵变系数：计算如下两点边值问题：

6、其精确解为。将区间做N等分，记.绝对误差最大值记为.表1列出了4个结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解。表2给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的绝对误差。表3给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的最大误差图1给出了取不同步长时所得的数值解曲线。图2给出了精确解曲线和取h=π/10时所得数值解曲线。图3给出了取不同步长时所得数值解的误差曲线。表1部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解hxπ/52π/53π/54π/5π/103.6746.0677.2736.677π/203.9106.

7、9527.1646.723π/403.6636.0187.4176.909π/803.0036.1827.1766.905π/1603.7476.2867.6776.623精确解1.2513.7926.4477.747表2取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值hxπ/52π/53π/54π/5π/102.42.31.81.1π/202.72.21.71.0π/402.42.21.01.8π/802.72.41.71.8π/1602.52.51.21.1表3取不同步长时部分结点处数值解的最大误差hπ

8、/102.4*π/202.90.π/403.10.π/803.00.π/1603.50.图1图2图3⑶守恒形：计算如下两点边值问题：其精确解为。将区间做N等分，记.绝对误差最大值记为.表1列出了4个结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解。表2给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的绝对误差。表3给出不同步长时在这4个结点处所得数值解的最大误差图1给出了取不同步长时所得的数值解曲线。图2给出了精确解曲线和取h=π/10时所得数值解曲线。图3给出了取不同步长时所得数值解