偏微分方程数值解

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1、第5章偏微分方程数值解5.1问题的提出5.2基本离散化公式5.3几种常见方程的离散化计算5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例总目录5.1问题的提出包含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。从实际问题中归纳出来的常用偏微分方程可分为三大类：波动方程、热传导方程和调和方程。考虑一个动态的传热过程，且不忽略纵向的热传导，就可以得到以下的偏微分方程：总目录本章目录5.15.25.35.4以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成，它所表示的真正含义如下:对于一阶偏导利用欧拉公式直接得出向前欧拉公式：时间的向后欧拉公式如下：5.2基本离散化公式总目录本章目录5.15.25.35.4

2、以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：5.2基本离散化公式总目录本章目录5.15.25.35.41、波动方程其中：为初值条件为边值条件5.3几种常见偏微分方程的离散化计算当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的混合问题。总目录本章目录5.15.25.35.4xt0(a)初值问题tx0l(b)混合问题5.3几种常见偏微分方程的离散化计算图5-1初值问题和混合问题的定义域根据5.2节提供的公式，将上面波动方程离散化，得到：处理后得：（5-1）（5-2）总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常

3、见偏微分方程的离散化计算同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：（5-3）由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推，就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。x图5-2层层递推的计算过程总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算实例例5.1：用数值法求解下面偏微分方程，并写出VB程序。解：将所求的方程离散化，先假设以下各式：代入并化简得：(计算实例VB程序见课本)（5-4）总目录本章目录5.15.25.35.42、一维流动传热传导方程的混合问题一维流动传热传导方程的混合问题：利用5.2节中的

4、离散化公式进行离散化，得到其离散化公式：5.3几种常见偏微分方程的离散化计算总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算将上式进行处理得到：（5-5）偏微分方程在点上进行离散化，且对时间的偏微分采用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：（i=1,2….m）图5-4隐式格式的计算过程ab总目录本章目录5.15.25.35.45.3几种常见偏微分方程的离散化计算例5.2请计算考虑纵向导热的套管换热器内管各点温度分布微分方程：解：首先根据前面的知识，将所求的方程离散化，先假设以下各式：代入微分方程并化简得：（5-6）(计算实例VB程序见课本)总目录

5、本章目录5.15.25.35.43、稳态导热/扩散方程利用化工知识，我们可以得到下面二维、三维的稳态导热或扩散偏微分方程：二维：三维：二维的稳态导热或扩散偏微分方程又称调和方程，其方程示意图见图5-4所示。常见有三种边界条件：第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：图5-4方程示意图5.3几种常见偏微分方程的离散化计算总目录本章目录5.15.25.35.4例下面介绍3种迭代格式：(1)同步迭代：(2)异步迭代：(3)超松弛迭代：当计算范围R为矩阵区域，x方向m等分，y方向n等分，那么最佳松弛因子：5.3几种常见偏微分方程的离散化计算总目录本章目录5.15.25.35.

6、45.3几种常见偏微分方程的离散化计算实例例5.3：处于传热平衡状态的某保温，假设其形状为长方体，在x，y两个方向上存在热传导，且导热系数相等，已知边界温度分布如下图所示：1xy10(1,1)试列出其传热微分方程，并求出各点的温度分布（间隔以），并画出温度分布图。图5-8边界温度分布总目录本章目录5.15.25.35.4[+（）]－[＋]=05.3几种常见偏微分方程的离散化计算实例解：取某一微元进行能量衡算，由于已达传热平衡状态，故可得传导入热量-传导出热量=0图5-9导热分析化简得：(计算实例VB程序见课本)总目录本章目录5.15.25.35.4计算结果：xy00.20.4

7、0.60.81.003040.873.2127.2202.83000.284104.53134.89178.09234.133000.4138158.45183.73216.13255.653000.6192207.54225.46247.06272.343000.8246254.26263.5274.3286.663001.03003003003003003005.3几种常见偏微分方程的离散化计算实例总目录本章目录5.15.25.35.45.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解实例5.4.1基本设定及