偏微分方程数值解(I)

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1、第十章偏微分方程数值解一、典型的偏微分方程介绍1.椭圆型方程Laplace方程Poisson方程2.抛物型方程热传导方程其中a是常数。它表示长度为L的细杆内，物体温度分布的规律土壤水运动方程：溶质运移方程：（水流稳态）（瞬态）3．双曲型方程波动方程它表示长度为L的弦振动的规律。二、定解问题决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件边界条件初始条件计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，它既不能求导数，更不能解偏微分方程。如果想在计算机上求得微分方程数值解，它的主要做法是把偏微分方程中所有的偏导数分别用差商代替，从而得到一个代数方程组——差分方程组，然后对差分方程求解，并以

2、所求的解作为偏微分方程数值解。10.1差分法简介对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，因此差分法亦称“网格法”。0xy把整体分割成若干个单元来处理问题的方法在数学上称为“离散化方法”在结点上采用离散化方法（数值微分、数值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值问题化成关于离散变量的相应问题，这个相应问题的解就是方程在点xi上的数值解f(x)，或在点（xi,ti）上的数值解U(xi,ti)。一般来说，不同的离散化导致不同的方法。例：取一边长为1的正方形均匀薄板，上下侧面绝热，四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。u=0u=0u=00xyLaplace方程第一边值问题记u在这些点满足方程得

3、到u(i,k)的近似ui,k，所满足的线性代数方程组：其中用迭代法来解方程组简单迭代法高斯—赛德尔迭代法i=4i=3i=2i=1i=0k=000000k=10.70700.35400k=210.7500.250k=30.70700.35400k=400000表10.1000000.7070.4530.3540.151010.750.4270.2500.7070.4530.3540.151000000表10.2i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4000000.7070.4530.2580.151010.5830.4270.18200.7070.4530.2580.

4、151000000表10.3i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4000000.7070.4530.2580.151010.5730.3860.18200.7070.3810.2430.134000000表10.4i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题：1．选用网格，将微分方程离散化为差分方程。2．当网格步长h0时差分方程的准确解是否收敛于微分方程的解？3．如何解相应的代数方程组？10.2椭圆型方程的差分解法椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程泊松方程考虑泊松方程第一边值问题：(一)矩形网格设为x

5、y平面上一有界区域，为其边界，是分段光滑曲线。0xy正则内点非正则内点边界点（二）五点差分格式现在假设（i，k）为正则内点。沿着x，y轴方向分别用二阶中心差商代替uxx，uyy，则得若以uh，fh表示网函数，记则差分方程可简写成：利用Taylor展式这四个式子两两相加便有：于是可得差分方程的截断误差（三）边值条件的处理以第一边值条件为例：非正则内点集合h：边界点集合（1）直接转移法对（xi,yk），用边界上距离这点最近的点的值作为（xi,yk）的值，即（2）线性插值法641352h1则u在这些点上的值有近似关系：（3）列不等距差分方程f1为f在1点的值。