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1、偏微分方程数值解(NumericalSolutionofPartialDifferentialEquations)主讲：王曰朋eduwyp@yahoo.com.cn1参考数目GeorgeJ.Haltiner,RogerTerryWilliams,NumericalPredictionandDynamicMeteorology(2ndEdition),theUnitedStatesofAmerica,1979.2.CurtisF.GeraldandPatrickO.,AppliedNumericalAnalysis,PersonEducation,Inc.,2004.3
2、.EugeniaKalnay,AtmosphericModeling,DataAssimilationandPredictability,thepressSyndicateoftheUniversityofCambridge,2003.4.AriehIserles,AFirstCourseintheNumericalAnalysisofDifferentialEquations,CambridgeUniversityPress,1996.5.李荣华，冯国忱.微分方程数值解.北京：人民教育出版社，1980.6.徐长发，李红.实用偏微分方程数值解法.华中科技大学出版社，2
3、003.7.沈桐立，田永祥等.数值天气预报.北京：气象出版社，2007.2数值天气预报—PDE数值解挪威气象学家V.Bjerknes（1904）提出数值预报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以预报将来某个时刻的天气—思想；L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计算稳定性问题“Courant,1928”）并没有取得预期的效果—尝试；Charney,Fjortoft,andVonNeumann(1950),借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC)，利用一个简单的正压涡度方程（C.G.Rossby,1
4、940）对500mb的天气形式作了24小时预报---成功；3TheElectronicNumericalIntegratorandComputer(ENIAC).4常微分方程的数值解大气科学中常微分方程和偏微分方程的关系1.大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大气薄层,1—1.5km),埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典）螺线的导出；2.1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。5Lorenz系统dx/dt=a(y-x)d
5、y/dt=x(b-z)-ydz/dt=xy-cz其中，a=10,(Prandtlnumber);b=28(Rayleighnumber);c=8/3;(x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)678910Franceshini将Navier-Stokes方程截断为五维的截谱模型如下：11欧拉法—折线法常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是借助于计算机来求常微分方程的近似解；有限差分法是常微分方程中数值解法中通常有效的方法；建立差分算法的两个基本的步骤：1.建立差分格式，包括：a.对解的存在域剖分；b.采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断误差（相容性
6、）；c.数值解对真解的精度—整体截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速度；e.差分算法—舍人误差（稳定性）.122.差分格式求解将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解，一般常用递推算法。在常微分方程差分法中最简单的方法是Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从中可领悟到建立差分格式的技术路线，下面将对其作详细介绍:13差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”考虑如下两个Taylor公式：（1）（2）从（1）得到：14从（2）得到：从（1）-（2）得到：从（1）+（2）得到：15对经典的初值问题满足Lipschitz条件保证了方程组的初值问题有唯一解。16一、
7、算法构造：0tuT1.在求解域上等距离分割：2.在有：微分方程的精确解差分方程的精确解173.应用时采用如下递推方式计算：4.例题对初值问题用Euler法求解，用即，185.Euler法的几何意义0t在递推的每一步，设定过点作的切线，该切线的方程为：即：19二、误差分析构造算法后，这一算法在实际中是否可行呢？也就是说是否使计算机仿真而不失真，这还需要进一步分析。1.局部截断误差--相容性为了分析分析数值方法的精确度，常常在成立的假定下，估计误差这种误差称为“局部截断误差”，如图。局部截断误差是以点的精确解为出发值，用数值方法推进到下一个点而产生的误差
