偏微分方程数值解试卷.doc

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1、一、（10分）简叙偏微分方程数值解研究的内容。建立一个偏微分方程数值格式，需要研究和讨论哪些问题？一个好的数值格式应该到达哪些要求？二、（10分）简叙用差分方法求解偏微分方程数值解的方法和步骤。三、（10分）请解释收敛性、稳定性、相容逼近性三个概念。它们之间有何区别和联系？四．对如下两点边值问题：将区间[0，1]作剖分：，（1）在上述网格剖分下建立中心差分格式；（10分）（2）写出局部截断误差；并问当网格剖分满足什么条件时，上述差分格式的误差阶为2；（10分）（3）利用极值定理证明解的存在唯一性。（10分）四、（1）中心差分格式：（2）

2、局部截断误差：显然当剖分为等距时，误差阶为2（3）用极值定理证存在唯一性：只需证明齐次（边值与右端恒零）问题只有平凡解。实际上，设是齐次问题的解，则由极值定理，既不能在区间内部取正的极大，也不能取负的极小，因此。七．已知两点边值问题：（A）（1）写出问题（A）的虚功原理（含证明）；（25分）（2）写出建立线性有限元方程组的主要步骤；（10分）（3）对于线性有限元方程组，设产生扰动，产生扰动，由此引起产生扰动，说明与，之间的关系。（5分）七．（1）（A）检验函数空间为：，，本题中检验函数空间与试探函数空间相同。对有：（2分）从而问题（A）

3、变分问题可描述为：求使得对成立。（B）（2分）问题（A）虚功原理可描述为：设，是问题（A）的解是问题（B）的解（4分）证明：必要性：是问题（A）的解是问题（B）的解（由上述推导易知）充分性：是问题（A）的解是问题（B）的解,从而由变分法基本引理知：。且，因此（7分）（2）出建立线性有限元方程组的主要步骤；Step1对区间[0，1]进行网格剖分，设剖分步长为h；.Step2构造形状函数；Step3计算单元刚度矩阵和单元载荷向量；Step4组装单元刚度矩阵为总刚度矩阵（设为），组装单元载荷向量为总载荷向量（设为），并设解向量为，即得线性有限

4、元方程组（5分）（3）（5分）