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1、偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵对称，定义，.若,则称称是的驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：是方程组的解解:设是的驻点,对于任意的,令,(3分),即对于任意的,,特别取,则有,得到.(3分)反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点.(4分)评分标准:的展开式3分,每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：其中建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的形式和形式的变分方程。解:设为求解
2、函数空间,检验函数空间.取,乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分),即变分问题的形式.(3分)令,则变分问题的形式为求,使(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。（2）取，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就和的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散,差分格式为(5分)应用展开得到,截断误差为,其
3、阶为(3分)(2)未知量为,矩阵形式为,其中(4分)求解得到解为(3分)A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]L=2.0000-0.5000-0.5000001.9365-0.1291-0.5164001.9322-0.55210001.8516u=0.66670.33330.66670.3333(3)矩阵为,(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分四（20分）、对于初边值问题（1）建
4、立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式(格式)并写出计算形式，应用方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1)区域离散,格式为,(5分)应用展开得到,误差主项为,阶为(3分)(2),(4分)稳定条件为(3分)(3)格式为,(3分)低阶项归入中,格式是无条件稳定的.(2分)五（10分）、逼近的三层差分格式分析格式的稳定性解:计算形式为(2分)此为三层格式,化为两层格式.令,则有
5、 (4分)令,代入格式,消去公因子,得到(2分)放大矩阵为,特征方程为,,的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为(2分)六（10分）、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件.解:差分格式为,(3分)截断误差为,阶为(3分)分析稳定性必要条件(4分)七（10分）、对于二维抛物型方程建立差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解:差分格式为(4分)误差阶为(3分)放大因子为,恒稳定.(3分)八.用方法求边值问题的第次近似,
6、基函数解:(1)边界条件齐次化:令,,则满足齐次边界条件,且(3分)第次近似取为,其中满足的方程为(3分)又由三角函数的正交性,得到而于是得到最后得到(4分)
