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《偏微分方程数值解期末试题及参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Ａ卷2005—2006学年第2学期《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期2006.4.14命题教师王子亭题号一二三四五六七八总分得分阅卷人偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵对称正定，定义，证明下列两个问题等价：(1)求使;(2)求下列方程组的解：解:设是的最小值点,对于任意的,令,(3分)因此是的极小值点,,即对于任意的,,特别取,则有,得到.(3分)反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点.(4分)评
2、分标准:的表示式3分,每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：其中建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的形式和形式的变分方程。解:设为求解函数空间,检验函数空间.取,乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分),即变分问题的形式.(3分)令,则变分问题的形式为求,使(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。（2）取，求边
3、值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散,差分格式为(5分)应用展开得到,截断误差为,其阶为(3分)(2)未知量为,矩阵形式为,其中(4分)解为(3分)(3)矩阵为,(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分四（20分）、对于初边值问题（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即
4、的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1)区域离散,格式为,(5分)应用展开得到,误差主项为,阶为(3分)(2),(4分)稳定条件为(3分)(3)格式为,(3分)当格式恒稳定,当,稳定条件为(2分)五（10分）、逼近的三层差分格式分析格式的稳定性解:计算形式为(2分)此为三层格式,化为两层格式.令,则有 (4分)令,代入格式,消去公因子,得到(2分)放大矩阵为,特征方程为,,的充要
5、条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为(2分)六（10分）、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差.解:差分格式为,(5分)截断误差为,阶为(5分)七（10分）、对于二维抛物型方程建立向后差分格式（隐格式），指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解:差分格式为(4分)误差阶为(3分)放大因子为,恒稳定.(3分)八（10分）、分析差分格式的稳定性解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分(2分)vonNeumann条件变为即只需条件可以写成。第二个条件可化为，因此差
6、分格式稳定的条件是(3分)
