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1、偏微分方程数值解试题(06A)一（10分）、设矩阵对称正定，定义，证明下列两个问题等价：(1)求使;(2)求下列方程组的解：解:设是的最小值点,对于任意的,令,(3分)因此是的极小值点,,即对于任意的,,特别取,则有,得到.(3分)反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点.(4分)评分标准:的表示式3分,每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：其中建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的形式和形式的变分方程。解:设为求解函数空间,检验函数空间.取,乘方程两端,
2、积分应用分部积分得到(3分),即变分问题的形式.(3分)令,则变分问题的形式为求,使(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。（2）取，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散,差分格式为(5分)应用展开得到,截断误差为,其阶为(3分)(2)未知量为,矩阵形
3、式为,其中(4分)解为(3分)(3)矩阵为,(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分四（20分）、对于初边值问题（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1)区域离散,格式为,(5分)应用展开得到,误差主项为,阶为(3分)(2),(4分)稳定条件为(
4、3分)(3)格式为,(3分)当格式恒稳定,当,稳定条件为(2分)五（10分）、逼近的三层差分格式分析格式的稳定性解:计算形式为(2分)此为三层格式,化为两层格式.令,则有 (4分)令,代入格式,消去公因子,得到(2分)放大矩阵为,特征方程为,,的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为(2分)六（10分）、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差.解:差分格式为,(5分)截断误差为,阶为(5分)七（10分）、对于二维抛物型方程建
5、立向后差分格式（隐格式），指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解:差分格式为(4分)误差阶为(3分)放大因子为,恒稳定.(3分)八（10分）、分析差分格式的稳定性解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分(2分)vonNeumann条件变为即只需条件可以写成。第二个条件可化为，因此差分格式稳定的条件是(3分)
