偏微分方程数值解期末试题及答案

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1、偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分)、设矩阵A对称，定义J(x)=

2、(Ax,x)-(/7,x)(xg/?w),°仇)=丿(兀o+加).若0(0)=0,则称称兀0是丿(兀)的驻点(或稳定点〉•矩阵A对称(不必正定)，求证兀。是丿(朗的驻点的充要条件是：以是方程组Ax=b的解解：设x0gRn是丿(x)的驻点，对于任意的"ZT,令0(2)=J(x0+Ax)=J(x0)+A(Ax0-b,x)+—(Ax,x),(3分)0(0)=0，即对于任意的xgRH,(Ax0-b,x)=

3、Q,特别取x=AxQ-b,则有(Ar()-b,Ar()-h)=

4、

5、Ax()-b\2=0，得到AxQ=b・(3分)反之，若x0€Rn满足Ax()=b,则对于任意的x,J(x0+x)=0(1)=0(0)+占⑷,x)＞丿(兀0),因此兀0是丿(x)的最小值点.(4分)评分标准:俠久)的展开式3分，每问3分，推理逻辑性1分xg(a.b)r_d(du、-(10分》、对于两点边值问题：汕=一玄9忑)+%u(a)=0,u(b)=0其中pwC]([a,b]p(x)>minp(x)=p^n>0,qwC([a,b]q>

6、0,feHQ([a,b])xEa.b]建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的形式和Galerkin形式的变分方程。解：设H[e={uueH'(a,b),u(a)=0}为求解函数空间，检验函数空间・Eve乘方程两端，积分应用分部积分得到dudv•・一+“dxdx即变分问题的Galerkin形式.令丿(u)=*a("，伉)-(/,%)tz(w,v)=f(p-^Jaz/v(3分)quv)dx=ffvdx=/(v),VvgH；(q,/?)Ja(3分)-fl/X—)2+g/_加冶,则变分问

7、题的开纟式2dx为求/gH'e(ci」4使丿(/)=minJ(w)(4分)g/4评分标准:空间描述与积分步骤3分，变分方程3分，极小函数及其变分问题4分,三（2U分》、对于边值问题=2=2-^+-^=0，(无，刃wG=(O,l)x(O,l)3x~dy况1*0=1，UL=1=0,11ly=0=Uly=l=1_X（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式〉，推导截断误差的阶。（2）取力=1/3,求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就h=/5和〃=的一般情况写出对

8、应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表TjOo解：（1）区域离散©=jh.yk=规9差分格式为uj+,k—k匕启］—2tijk4-知*+i=0(5分)应用北展开得到，截断误差为£［兽+罟几+0（胪），其阶为。（巧（3分）（2）未知量为C/=（wlpw12,w2Pu22）r，矩阵形式为AU=FM中丫4-1-1-140A=-104<0-1-1求解得到解为(3分)"2L=-1/2V15/21/20V15/2<0-2/V15-2V52/V15J0、仃+2/3、了5/3、-1F—1/31/3-1」—1+2/35/34丿

9、<1/3>,1/3丿(4分)A二［4,・1,・1,0;・1,4,0,・1;・1,0,4,・1;0,・1,・1,4］2.0000-0.5000-0.5000001.9365-0.1291•0.5164001.9322-0.55210001.8516u=0.66670.33330.66670.3333（3）矩阵为、，B=S-1）-14-1••••••Bj-14」（5分）评分标准:第1问8分，格式4分，截断误差4.（2）7分，方程4分，解3分・（3）5分，形式3分,B的形式2分叟=a+bu,0

10、

11、，阶为（3分）（4分）（3分）（3分）O（T+h2）（2）A=E,B=diag{r,l-2厂,r],稳定条件为r