高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题四 空间垂直的证明---精校解析 Word版

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1、www.ks5u.com专题四空间垂直的证明I．题源探究·黄金母题【例1】如图，在正方体中，求证：（1）平面；（2）与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）．【解析】（1）连接，，又⊥面，∴，∵，∴⊥面，因此．同理可证：，∴平面．（2）连接，由，得．∴点为的外心.又是正三角形，∴点为的中心，也为的重心．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016年全国Ⅱ卷】如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到的位置.（1）证明：；（2）若，，求五棱锥体积.-11-【解析】（1）由已知得，．又由得，故．由此得，所以．（2）由得由得，所以，于是故．由（Ⅰ）知，又，所以平面于是．又由，所

2、以，平面．又由得．五边形的面积为，所以五棱锥体积为．【例3】【2015重庆高考】如图，三棱锥中，平面平面，，点在线段上，且，，点在线段上，且.-11-（Ⅰ）证明：AB平面PFE；（Ⅱ）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长．【解析】（1）如图.由知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，从而.因.从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面.（2）设,则在直角中，.从而由，知，得,故，即.由，＝＝＝,从而四边形的面积为由（1）知，平面，所以为四棱锥的高.-11-在直角中，，体积，故得，解得，由于，可得，所以或．【例4】【2015全国新课标Ⅰ卷】如图四边形为菱形，为

3、与交点，平面．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【解析】（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以，故平面．又平面，所以平面平面．（Ⅱ）设，在菱形中，由，可得，.因为，所以在中，可得.由平面，知为直角三角形，可得.由已知得，三棱锥的体积，故=2从而可得.-11-所以的面积为3，的面积与的面积均为，故三棱锥的侧面积为.精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题

4、位置．【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象

5、能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．III．理论基础·解题原理考点　直线、平面平垂直的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直（满足条件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“-11-面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与

6、一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．【技能方法】（1）证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直；（2）证明线面垂直转化为证明线线垂直或面面垂直；（3）证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直．【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱

7、推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．V．举一反三·触类旁通考向1　空间直线与直线垂直【例5】【2017重庆八中上期第一次月考】　已知在斜三棱柱中，四边形为菱形，，，点为的中点，平面.（1）求证：；（2）设直线与交于点，求三棱锥的体积．-11-【方法点睛】证明线线垂直常见的有两种途径：（1）通过证明线面垂直达到目的，然而在实际证明过程中常常是转