高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题三 组合体的表面积与体积---精校解析 Word版

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1、www.ks5u.com专题三组合体的表面积与体积I．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，求球的体积．【解析】设球的半径为，由正方体与球的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径，所以，即，所以球的体积为＝＝．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标Ⅲ卷】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（　　　）A．　　　B．　　　C）6π　　　D．【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．【例3】【2016全国Ⅱ卷】体

2、积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　　D．【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A．【例4】【2014陕西高考】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（　　　）A．　　B．　　C．　　D．【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D．【例5】【2014全国大纲卷】-16-正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底

3、面边长为2，则该球的表面积是(　　　)A．　　B．16　　C．9　　D．【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为，球心为，正四棱锥底面中心为为,则垂直棱锥底面，,所以，解得，所以球的表面积=，故选A．【例6】【2013新课标I卷】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　　)A．　　B．C．　　D．【答案】A【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为，则，解得，∴球的体积为=，故

4、选A．【例7】【2013辽宁高考】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若A，，，则球的半径为（　　　）A．　　B．2　　C．　　D．3【答案】C【解析】由得，则知-16-所在的球的截面圆的圆心在的中点上，同理所在的球的截面圆的圆心在的中点N上，则球心为的中点，故球的半径为=．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页练习第2题．【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现．【思路方法】根据所涉及到几何体组合

5、的结构特征，寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立方程简单的等式来求解，主要体现为方程思想与转化思想的应用．【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．III．理论基础·解题原理考点一　棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积

6、主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积．考点二　圆体的表面积-16-圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；

7、圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长．考点三　柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高确定，即．特别地，底面半径是，高是的圆柱的体积是．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的．考点四　锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积，即．特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是．考点五　球的体积与表面积根据球的表面积公式与体积公式，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比．IV．题型攻略·深度挖掘【考试