高考专题黄金100题解读与扩展系列：专题六 利用空间向量求空间的角---精校解析 Word版

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1、www.ks5u.com专题六利用空间向量求空间的角I．题源探究·黄金母题【例1】已知和所在的平面互相垂直，且，，求：（1）直线与平面所成角的大小；（2）直线与直线所成角的大小；（3）二面角的余弦值．【解析】（1）设，作于点，连接．以点为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向建立坐标系，得下列坐标：，，，，.∴，，.∴与平面所成角等于．（2），所以，与所成角等于.（3）设平面的法向量为，则，.解得，显然为平面的法向量.，.-18-因此，二面角的余弦．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016浙江高考】如图，已知平面四边形ABCD，，CD=1，，．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线

2、AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．【答案】【解析】设直线与所成角为．设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以＝，所以时，取最大值．-18-【例3】【2016全国新课标Ⅲ卷】如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原

3、点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，，，，.-18-设为平面的法向量，则，即，可取，于是.【例4】【2016全国新课标Ⅱ卷】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解析】（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，，故.-18-又，而，所以.（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，，因此二面角的正弦值是．精彩解读【试题来源】人教版A

4、版选修2－1第112页习题3.2A组第6题．【母题评析】本题集异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角为一体的综合题，解答时通过建立空间直角坐标，利用空间向量的坐标运算来求解这三个角．此题主要考查空间向量的应用、运算求解能力、转化能力．-18-【思路方法】求异面直线所成角可通过求两条异面直线的方向向量的夹角来完成；求直线与平面所成的角可通过求斜线的方向向量与平面的法向量的夹角来完成；二面角可通过求两个平面的法向量的夹角来完成．【命题意图】本类题主要考查利用向量求异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成角，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试

5、方向】异面直线所成角在选择题与填空题中考查较多，在解答题中较少，而直线与平面所成角、二面角在选择题与填空题中考查较少，在解答题中考查考多．【难点中心】利用空间向量求空间角的难点主要表现在：（1）求平面的法向量是一个难点，主要体现为运算时较大；（2）处理空间角与所涉及到向量夹角关系时，可能存在理不清关系．III．理论基础·解题原理考点一　异面直线所成角用向量法求异面直线所成角，设两异面直线、的方向向量分别为和，如图所示，异面直线所成角：只需分别在上取定方向向量，则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角，即．考点二　直线与平面所成角1．直线与平面所成的角（范围：）在上取定方向向量，是平

6、面的法向量，则直线和平面所成的角等于向量，所成角的余角或补角的余角，即．-18-考点三　二面角平面和所成二面角：设，分别为平面和的法向量，则平面和所成二面角等于两个法向量的夹角或补角．可由求得的值，再观察二面角，若是锐二面角，则二面角；若二面角为钝二面角，则二面角．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】异面直线所成角在选择题与填空题中考查较多，在解答题中较少，而直线与平面所成角、二面角在选择题与填空题中考查较少，在解答题中考查考多．【技能方法】1．注意利用空间向量求空间角几点提醒：（1）建系问题：不是所有的立体几何问题都可以直接建系的，条件中具备三垂直可直接建系，没有则需证明后才能建系

7、；（2）注意要将几何问题向量化，向量的结论还原为几何结论；（3）利用向量运算解决空间角问题，在解决线面角和二面角时容易出现错误，要多加注意；2．掌握空间直角坐标建立的途径：（1）利用共顶点的互相垂直的三个不共面的直线构建直角坐标系；（2）利用线面垂直关系构建直角坐标系；（3）利用平面与平面垂直的位置关系构建空间直角坐标系；（4）利用正多边形的中心与几何体高所在直线构建直角坐标系．【易错指导】（1）忽视异面直线所成角的范围，易错误认为两条异面直线的方向向量夹