资源描述：
《中科院研究生院数分试题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2007年屮国科学院研究生院入学考试数学分析试题及解答8>724-11求慕级数若帛"的收敛域，并求和(z?24-1)2/,+1(714-1)!「0+1)2+1]25!=+oo解：取收敛半径为R,设afl=^-^R取临界状态，则有lim如=l=>R=lim/：—>00Z7舁一>00UH从而知收敛域为（yo,+go）,取）'，=空，可知00丈字卜==丈2/+乞畔严=0+送斗V"+y,；=o2n“=o刃”=（）川“=on”=（）nh=ort!-eyW0…y/=0、+》(*')=R(i+y+y2)=(4,XX1+—+—(24r+oo严sin2x2
2、.讨论积分J。”:心的绝对收敛和条件收敛•V解：取广匚吐如竺如Jo"Jo产兰空心厶+厶当兀0时，由于广垮严52讼纣J2H7T兀"J：2nn^—2sin2xdx=1>0,2n/r从而由Cauchy收敛准则知，此时j当p>0时,由于外sm2兀2沽（兀tO+O）,当且仅当/?<2,积分人收敛，又因为X12=「理二d(严)=-2esin,sin1-2[收esinxcos%必「畀+00e&inxsinx英中=7在［l,+oo）单调减，当兀TXo时趋于零；V/1>1,有X•AI严'cosMy<2e根据Dirichlet收敛准则,是厂^2竽弘收敛，而』Xsinx
3、4<01兀卄+oo（^s,nAsinx心收敛，从而当且仅当0vp<2时，积分［+252%收敛，又有xppe(0,1]时，有■woesinvI“—limYC71=xP£"T+8七Umin2AU>iiimt^A-少TW铝(£+1)〃(知i)兀•sin2x
4、dx1~k+=+oo因此，此吋gMnAS'n2xdx条件收敛，当〃w(l,2)吋，显然积分'罗2兀dx绝对收敛✓V3.计算曲面积分JJyzdydz+(x2+z2^ydzdx+xydxdy,其中工为曲面4一y-x'+z?在zXOZ平面的的右侧部分的外侧°解：取乙为曲面v0?，它的方向就为y轴的负方向，
5、D为曲面工和乙形成的儿何jr+z=4从而体，则有yzdydz+(x2+^ydzdx+xydxdy=0JJyzdydz+(x2+z2)ydzdx+xydxdyx1+z2)ydzdx+xydxdy=jjyzdydz+(x2+z2)ydzdx+xydxdy+Jjyzdydz+(FE£二JW+Z2购WZ二仙JJX+Z?DA*2+z2<4-y4•证明下列不等式；(1)XW(1-X)<—(0l(x,y>0)ydxdz=j：dy^d&J(「r2rdr=—7r证明：(1)设/(x)=xH(l-x),所以/'(%)=nxn~x
6、一(比+1)兀"=(h+1)xh_i(———x),ATI1i-i则有/(兀)在点x=—取得最大值；xn{-x)7、或者直接利用几何与算术平均不等式和1+丄〉£，得InJrn=nn(-)(l-x)
8、处达到最小值A=ee，且有疋+才nA+tA(tx>/
9、),又由于函数g(r)=A+/A,g'(f)=AlnA+A,g"(f)=A'(lnA)2>0,/(0)=1口4+4=—丄+幺&>O,g(O)=l,因此g'(f)=?VInA+A>0,所以g(f)在(0,1]上递增，所以g(/)〉g(o)=l,即xv+yv>loqOoOqO5.设级数£仇收敛，且£(色-％_J绝对收敛，证明:级数anbn收敛/：=!71=1?1=18证明：由工(色-色_])绝对收敛可知色有界，不妨设为
10、«??
11、0,37V,当〃>N时,n+p和为
12、@+1一兔1+Mj+i,1=1若记S”+i=，=
13、1,2,‘p)&=打+1则有,A=/?+l°”+肉和+色+2^+2++%+/A+0S”+p-iS”+](%an-vp-)+S”+/”+ps
14、s”i
15、0”+]-4』+Q”p+Szp所以收敛7J=16.假设/（x）为二次连续可微实值函数，对于所有的实数兀，满足
16、/（%）
17、<1且满足（/（°）『+（广（°））亠4。证明存在实数无，满足/（如）+广（如）=0证明：由分析存在c（g（-2,0）,c2g（0,2）有f（G=件曰,/@）=芈型从而有乙厶（cj
18、M1，
19、f6）1Ml，取F（x）=（/（x））2+（r（x））2,则有F（0）=4,F（c1）<2,F
20、（c2）<2就有F（兀）在Sc）有最大值,从而存在点兀°,有F（xo）=O,即2r（xo）[/（xo）+r（xo）]=O,
