乘性和加性噪声作用下Duffing-van der Pol方程的三峰P-分岔.doc

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1、乘性和加性色噪声作用下三稳态VanderPol-Duffing系统的随机P-分岔摘要：本文对乘性和加性色噪声共同作用下三稳态VanderPol-Duffing系统的随机P-分岔问题进行了研究，重点讨论了两种色噪声的相关时间和、噪声强度和以及系统阻尼项对系统随机P-分岔现象的影响。应用随机平均法得到系统的随机微分方程，求得系统响应幅值的稳态概率密度函数。基于确定性系统中的奇异性理论，求得三稳态VanderPol-Duffing系统随机P-分岔发生的临界参数条件。本文给出了系统振动幅值稳态概率密度函数存在的11种定性不同的分岔模式，并通过Monte-Carlo数

2、值模拟对理论计算结果进行了验证。关键词:稳态概率密度函数、转迁集、随机P-分岔1、引言随机分岔主要是指由随机扰动引起的系统定性性质的变化[1,2]。人们在研究噪声诱发的系统行为转变时，发现当系统的控制参数跨过某一个临界值时，不变测度密度的分布曲线由单峰变成双峰[3]。文献[4-6]对谐和与宽带噪声、谐和与白噪声、有界噪声激励下强非线性系统的随机P-分岔现象进行了分析。文献[7-8]在研究谐和与宽带噪声联合激励下含分数导数型阻尼Duffing振子平稳响应的P-分岔现象时，发现分数阶数的变化可以导致系统发生随机P-分岔。此外文献[9-11]对单自由度Duffin

3、g振子在窄带噪声激励下的跳跃和分岔现象也进行过分析。文献[12]对有界噪声激励下带有时滞反馈的随机Mathieu-Duffing系统响应的P-分岔现象进行分析时，发现调谐参数、时滞项系数等系统参数对系统分岔行为有一定影响。文献[13,14]对Duffing振子在窄带随机噪声、谐和与随机噪声联合激励下的双峰稳态概率密度问题进行了求解，应用等效线性化方法求出了双峰稳态概率密度的表达式，为此类系统随机P-分岔的研究提供了参考。同时文献[15-18]对于加性和乘性高斯噪声激励下Duffing-VanderPol振子的随机分岔现象进行了研究。确定随机P-分岔的临界参数

4、条件，对深入分析参数影响有重要的意义。随机P-分岔的临界参数条件可以根据概率密度极值点数目变化来得到，文献[17-19]用这种方法对随机激励下Duffing-VanderPol系统进行了研究，确定了系统响应的稳态概率密度函数(以下简称PDF)从单峰变为双峰的临界参数条件，文章没有考虑PDF曲线为双峰时两峰值相对高低的变化时临界参数条件的求解。本文主要研究了三稳态VanderPol-Duffing系统的随机P-分岔现象，求解了此类系统振动幅值的稳态概率密度函数，利用确定性系统分岔奇异性理论得到了随机P-分岔发生的临界参数条件，分析了两种色噪声相关时间、噪声强度

5、、系统阻尼项对临界参数条件的影响，研究加性、乘性色噪声和线性阻尼相互作用下的稳态响应幅值的概率密度分布曲线峰值数目、相对高度的变化。2、系统模型考虑如下形式的VanderPol-Duffing系统(1)其中参数、、、。和为高斯色噪声,噪声强度分别为:、，自相关函数为：(2)图1给出了时对应的确定性系统极限环幅值随阻尼系数变化的曲线图。区间时，确定性系统有一个平衡点和四个极限环，从内向外依次为稳定、不稳定、稳定、不稳定、稳定，即对应的确定性系统有三个吸引子，、时确定性系统分别有一个平衡点和一个稳定极限环，对应确定性系统有两个吸引子。图1确定性系统定态运动分布为

6、求解稳态概率密度函数，首先引入如下变换：(3)利用随机平均法可以得到相应的伊藤微分方程：(4)其中是两个独立的单位Wiener过程，因此可以得到振动幅值的稳态概率密度函数为：(5)其中由概率密度函数(5)式可以看出，参数()给定时，系统响应幅值稳态概率密度曲线（PDF曲线）的变化完全由两种色噪声的相关时间和、噪声强度和以及系统阻尼项决定。下面分析色噪声参数和系统参数对随机P-分岔临界参数条件的影响，进而分析系统PDF曲线的变化，讨论系统(1)的随机P-分岔现象。3、噪声参数和系统参数的影响引入分岔分析奇异性理论的方法来解决随机系统分岔图（PDF曲线）的分类问

7、题，从分岔理论的观点来看，系统振动幅值的稳态概率密度曲线可以看作以响应的概率密度为分岔参数，响应幅值为状态变量的分岔图。相应的分岔方程为：(6)其中噪声强度和、相关时间和、阻尼系数可视为开折参数。根据奇异性理论，开折参数变化时，引起分岔曲线类型发生改变的临界参数条件的集合即为转迁集。因此求出转迁集，也就求得发生随机P-分岔的临界参数条件。分岔方程(6)的转迁集包含以下类型：H（滞后集）：(7)DL（双极限点集）：(8)(1)乘性噪声的影响应用方程(7)、(8)，我们可以得到变化时平面上的转迁集曲线。图2给出了的取值分别为0、0.4时平面上的转迁集曲线，图中平

8、滑曲线为滞后集，点划线为双极限点集。在滞后集两侧PD