合情推理及演绎推理综合题型剖析

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1、合情推理及演绎推理综合题型剖析合情推理、演绎推理为新教材中的新知识点，几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题在新的高考中都会涉及和渗透，应有足够的重视，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面.在选择题、填空题中注意灵活掌握.明确合情推理的一般步骤.掌握演绎推理的基本模式.1.数列中常常使用的“观察一归纳一猜想”的推理方式.例1.已知数列｛an｝满足a1=2,an+1=1-，则a2013=()A.2B.—C・—D.—1分析：要由数列的递推

2、关系，看出一般性规律，猜想a2013・解析：•.•an+l=l—,・・・an+2=l—=—,从而an+3=l—=l+an—1=an,即数列｛an｝是以3为周期的周期数列.又a1—2,a2—1—=,a3=—1,所以an=2,n=3k+l,n=3k+2(k£N),所以a2013=a607X3+3=a3=—1.—1,n=3k+3答案选D.点评：(1)如果数列｛an｝满足：存在正整数M、T,使得对一切大于M的自然数n,都有an+T=an成立，则数列列(an)为周期数列.(2)高考要求对数列要理解数列通项公式的意

3、义，会由递推公式写出数列的前n项，是归纳推理的典型例题.归纳推理是一种思维过程：观察一概括一猜想，既要有较强的归纳猜想能力，也要掌握一些常见规律.例2・设函数f(x)=(x>0),观察：f1(x)=f(x)=,f2(x)==f(fl(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,根据以上事实,由归纳推理可得：当neN?且n2时，fn(x)=f(fn—1(x))=・分析：依题意,先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式,知该数列的通项公式为an=2n—1・又函数结果的分

4、母中常数项依次为2,4,8,16,…，故其通项公式为bn=2n，所以当时，fn(x)=f(fn—1(x))=・点评：本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.1.函数题型中不可缺少的“化归与推理”的推理题型.例3.设函数f(x)在(一°°,+°°)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0,7］

5、上只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)试求f(x)=0在闭区间［一2005,2005］上的根的个数，并注明你的结论.分析：(1)判断f(x)的奇偶性，主要以定义为依据.函数图像有两条对称轴，则为周期函数.(2)在闭区间［一2005,2005］上的根的个数，只能通过具体的区间一一个周期上的结论去推理.解析：(1)由f(2—x)=f(2+x),得f(x)=f(4—x).由f(7—x)=f(7+x),得f(x)—f(14—x),f(4—x)=f(14—x),得f(10+x)=f(x

6、),.°.f(x)周期为10.在闭区间［0,7］上只有f(1)=f(3)=0,/.f(-3)=f(7)HO,/.f(x)既不满足f(—X)=f(x),也不满足f(—X)=—f(x),是非奇非偶函数.(2)在闭区间［0,10］上只有彳(1)=f(3)=0,在闭区间［—10,0］上只有f(—9)=f(—7)=0,?.f(x)在［0,10］上有两个根，在［0,2005］有402个根，在［―10,0］上有两个根，在［一2005,0］有400个根，在闭区间［—2005,2005］上有802个根.点评：(1)奇偶性

7、的判断与使用，主要都以定义为依据，但注意判断函数f(X)具有奇偶性的时候，要满足定义，而否定奇偶性的时候，只要举出一个反例即可否定.(2)分析与综合，化归与推理，共同揭示了数学问题中的条件与结论的关系.例4・已知函数f(x)=—(a〉0且aHl),(1)证明：函数y=f(x)的图像关于点(，一)对称；(2)求f(―2)+f(-1)+f(0)+f(1)4-f(2)+f(3)的值.分析：演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，此题要注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.解析：(1)证明：

8、函数f(X)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点(,~)对称的点的坐标为(1—x,—1—y).由已知得『=,则一1—y=—1+=—,f(1—x)=—=—=—=—,—1—y=f(1—X).即函数y=f(x)的图像关于点(,-)对称.(2)由(1)有一l-f(x)=f(1-x),即f(X)+f(1—X)=—1....f(—2)+f(3)=—l,f(-1)+f(2)=—1,f(0)+f(1)=—1.则f(—2)+f(-1)+f(0)+