浅谈数学反例教学的功能

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1、浅谈数学反例教学的功能盐城市鞍湖实验学校朱国祥【摘要】数学教学过程中,教师对反例的作用认识不够，教材也没有给予足够的重视，“虽然证明在数学学习中有重要的作用，但是从哲学的角度出发，作为问题的另一方面,也应清楚反例在数学学习中的重要性”。【关键词】反例数学教学思维能力在数学的发展史中，反例和证明有着同等重要的地位。一个正确的数学命题需要严密的逻辑推理进行证明，谬误则靠反例即可否定。比如要否定“带根号的数都是无理数”，只要举出反例二2就可以了。反例因其具有直观、明显、形象、牛动等特点，决定了它在数学教学中无可比拟的作用。美国数学家B.R•

2、盖尔鲍姆说「'冒着过于简单化的风险，我们可以说(撇开定义，陈述以及艰苦的工作不谈)数学有两个大类…证明与反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标…提出证明和构造反例。”正因为反例在否定一个命题时具有特殊的威力。因此,在数学教学中适当运用反例，可以收到事半功倍的效果。木文结合教学实践，就反例的教学功能略呈浅识。一、运用反例进行教学，能够帮助学牛正确全面地理解数学概念数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。关于函数

3、的概念，不少学生片面地认为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了帮助学牛澄清、纠正这一错误认识,可向学牛提出这样的两个问题：(1)人的身高与年龄成函数关系吗？⑵若y=tanx·cotx,则y是x的函数吗？结果不少学牛都认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。而⑵中由于y=tanx·cotx=1,因变量y不随x的变化（y=1）,故y不是x的函数。我带领学生一起参与讨论。发现问题⑴里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量（人的年龄

4、）发生变化时，因变量（身高）没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。而在问题⑵里，对每一个给定的x值（在x的定义域内），y随x总有唯一确定的值（y=l）和它对应，只不过当x变化吋，y的值始终不变罢了。由此使学生认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化。通过所举两个反例的学习，学生便自觉地体会到：对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。二、引入反例进行教学，能够增强学生发现问题、纠正错误的意识学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他

5、们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。例如学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，我便举了下面的一个实例：解方程：一二1错解:方程两边同乘以（l・x2）,得：2-（l-x）=l,即x=0经检验知x=0是原方程的解。学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是由把x=0代入方程两边相等。于是，我又举了一个简单的分式方程=3如何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘（方程右边未乘以1-X2）,于是学生便迅速地得出正确解法。通过本例教学，加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。同吋，也使学生认识到，

6、解答结果对并不能保证解题过程的正确。（有时计算结果往往一种偶然的巧合），收到了较好的教学效果。三、构造反例进行教学，能够使学生理解并掌握数学中的有关定理、性质学生在学习一个新的定理、性质时，往往会忽略定理、性质中的关键词语,从而造成解题的错误。为了克服这一现象，教学中要善于构造反例，帮助学生牢记关键词语，达到正确理解并掌握定理、性质。例如，垂径定理的推论1“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，学生常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。教学吋可以构造反例，列举圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，由此

7、来纠正这一错误，加深对限制条件的理解。四、引用反例进行教学，能够加深学生对教学公式、法则的正确理解而达到灵活运用学生在学习有关公式、法则吋，经常会忽略这些公式、法则的运用范围，使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，铸成错误。因此，教学中不仅要向学生讲清、交代公式、法则的适用条件，而且要适当引用一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解而达到有效的掌握。例如：“先化简，再求值，当a二2I］寸。甲：原式二乙：原式二你认为谁正确，为什么？”。此例是二次根式的化简公式的应用，导致两种截然相反结果的原因是其中"3的值是大于0还是小于0,由题意知a=

8、2时a-3<0,因此故甲正确。通过此例甲、乙两同学计算过程的对比，让我们明显体会到今后在利用二次根式的化简公式时，一定要注意绝对值内a的符号,否则会出现两种完全不同的结果。五、运用反例进行教学，能够提高学生否定错误的命题