浅谈反例函数的教学

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1、浅谈反比例函数的教学函数是数学中重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，是以后进一步学习的基础。而反比例函数又是最基础的函数之一，它的教学应以掌握反比例函数的图象和性质，求反比例函数的解析式以及应用函数知识解决相关的实际问题为重点。我们应抓住反比例函数教学的重难点，让学生轻松掌握本节知识，通过我多年的教学尝试，搞好反比例函数教学我认为可以从以下几方面着手。 　　一、从实例出发，加深对反比例函数概念的理解 　　教学中让学生从实际问题出发，探索其中

2、的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，再得出反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。课堂上要让学生弄清解析式中各字母的意义，知道k是常量，x是自变量，y是因变量，y是x的函数。还要让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 　　因为y=kx是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。而y=kx可以通过变形写成xy=k或y=k・x-1两种形式。 　　二、利用数形结合探讨反比例函数的

3、图象与性质 　　画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤：列表――描点――连线，其中列表取值很关键。反比例函数y=kx（k≠0）自变量的取值范围x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，最好互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确，连线时要用平滑的曲线连接，不能用折线。教学时，老师要带着学生一起画，加强指导，及时纠错。由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 　　通过作图可知，反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对

4、称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。y=kx的渐近线：x轴与y轴。k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

5、k

6、越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 　　反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的，在学生活动中归纳出：当k>0时，函数在x<0上为减函数，在x>0上也为减函数；当k<0时，函数在x<0上为增函数，在x>0上也为增函数；反之，从双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的解题方法。 　　教学时还应探索k的意义及应用。在反比例函数y=kx（k

7、≠0）图象上取一点P（x，y），过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积S=

8、x

9、×

10、y

11、=

12、xy

13、=

14、k

15、，这是反比例函数中比例系数k的一个很重要的几何意义。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。 　　三、灵活掌握用待定系数法求解析式 　　学习函数知识的一个重要方面，就是根据题目条件，求出函数的解析式。分析反比例函数的解析式可知，只需要求出k的值，便可

16、以求出该函数的关系式，而k=xy，所以只要有一点在反比例函数的图象上，就可以求出该函数的解析式。教学中，要让学生明确下面几个步骤： 　　（1）根据已知条件设出含有待定系数的函数关系式； 　　（2）将x、y的一对值或图象上的一个点的坐标代入上述函数关系式中得到一个以待定系数为未知数的方程； 　　（3）解方程得出系数k的值； 　　（4）将求出的待定系数k代回所设的函数关系式中得出所求函数的解析式。 　　实际上，求反比例函数的解析式常见的不外乎两种呈现方式：一种完全以代数的形式呈现，另一种则是与图象结合，设置此类题目是为

17、了加深学生对函数图象的理解，加强数形结合思想的渗透。 　　四、加强反比例函数与正比例函数的对比 　　在探究反比例函数的性质时，应结合正比例函数y=kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，使学生更好地理解和掌握反比例函数的知识： 　　1.两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个x，都有一个常数k，且k≠0；不同点是自变量x在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式y=kx的右边是一个整式，常数k（k≠0）是自变量x的系数，而反比例函数的解析式y=kx的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，

18、常数k（k≠0）处在分子的位置。　　2.两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。 　　3.在常数k>0的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数k<0的情况下，当自变量