高中数学 第一章 计数原理疑难规律方法学案 北师大版选修2-3

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1、第一章计数原理1　两个计数原理的灵活应用计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观．下面通过典例来说明．一、列举法例1　某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有(　　)A．7种B．8种C．9种D．10种解析　依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解．若买5个鼠标，则可买键盘3、4、

2、5个；若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9个鼠标，则可买键盘3个．根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种．故选C.答案　C点评　本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得．列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律．二、树形图法例2　用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？解　编写一个号码要先

3、确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码，如图．由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．三、列表法非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。例3　四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？解　把四个人分别编号①、②、③、④，对应写的贺年卡编号分别为1,2,3,4

4、，将4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：四个人取贺年卡的方法①222333444②134144133③441412212④313221321方法编号123456789由表格可知，共有9种不同的方法．点评　本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算．借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决．四、直接法例4　已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl和NaOH分子？解　因为HCl由两种元素构成，所以分两步完成：第1步：选择氢元素，共有3种．第2步：选择氯元素，共有

5、2种．由分步乘法计数原理得共有6种HCl分子．同理，对于NaOH而言，分三步完成．第1步：选择钠元素，有3种选法．第2步：选择氧元素，有4种选法．第3步：选择氢元素，有3种选法．由分步乘法计数原理知共有3×4×3＝36(种)NaOH分子．点评　当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题．2　排列、组合的破解之术非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦

6、有限公司工作的高度重视和支持。排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可．说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路．下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！一、特殊元素——优先法对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑．例1　将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a

7、5≠5，a1

8、)A．1440种B．960种C．720种D．480种解析　先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步乘法