高中数学 第一章 计数原理 4 简单计数问题学案 北师大版选修2-3

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1、§4　简单计数问题学习目标重点难点1.会解决分类及分步的计数问题．2．能用剔除法解决稍复杂的计数问题．3．会用捆绑法解决相邻问题．4．会用插空法解决不相邻问题.重点：排列数与组合数公式．难点：排列与组合的区分及特殊问题的处理方法.1．简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决简单计数问题的两个基本原理．预习交流1你对先特殊后一般的原则的理解．提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制．先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑

2、一般元素或一般位置．2．简单计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先考虑总体，再把不符合条件的所有情况剔除．捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要是用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；

3、插空主要用在不相邻问题上．1．剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有(　　)种．A．150B．147C．14D．141思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找．由10个点中取出4个点的组合数C减去4个点共面的个数即为所求．答案：D解析：10个点取出4点的组合数为C，4点共面的情形可分三类：第一类：四面体每个面中的四个点共面，共有4×C＝60种；第二类：四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形，则四点共面，共有3种；第三类：四面体的一条棱上三点共线，这三点与对棱中点共面，共有6种．故4点不共面的

4、取法有C－(4C＋6＋3)＝141(种)．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(　　)种．A．8B．12C．16D．20答案：B解析：联想一空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即C·C，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即C－C＝12.　　利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净，或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．2．捆绑问题(相邻问题)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有(　　)种．A．120B．480C．

5、720D．840思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：B解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步乘法计数原理共有CA＝480种不同排列．5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有__________种．答案：4320解析：将3名老师捆绑起来看作一个元素，与5名同学排列，有A种排法，而3名老师之间又有A种排法，故满足条件的排法共有A·A＝4320(种)．　　对于某

6、几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．3．插空问题(不相邻问题)7个人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是(　　)．A．1440B．3600C．4320D．4800思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：B解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人有A种方法，故共有A·A＝3600种排法．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中

7、都不相邻，则不同节目单的种数为(　　)．A．AB．AC．A·AD．A·A答案：C解析：先排8个唱歌节目共有A种不同方法，然后从唱歌节目形成的中间及两端共9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A种方法，由分步乘法计数原理，不同节目单的种数为A·A.　　解决不相邻问题(插空问题)，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出的元素插空，注意空的个数要包括两端．1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)种．A．1440B．960C．720D．480答案：B解析：5名志愿者先

8、排成一排，有A种方法，2位老人作为一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有2×4×A＝960种不同排法．2．