2017-2018版高中数学第一章计数原理4简单计数问题学案北师大版选修2-3

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1、4简单计数问题【学习目标】1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题.知识梳理知识点一两个计数原理1.分类加法计数原理（加法原理）完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法屮有也种方法，在第二类办法屮有加种方法，……，在第刀类办法中有偽种方法，那么，完成这件事共有“=种方法.2.分步乘法计数原理（乘法原理）完成一件事需要经过刀个步骤，缺一不可，做第一步有加种方法，做第二步有加种方法，……,做第刀步有皿种方法，那么，完成这件事共有A-种方法.3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完

2、成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其屮的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.知识点二排列1.排列从刀个的元素中取出刃SW/7）个元素，按照一定的排成一列，叫作从/7个不同的元素中任意取出刃个元素的一个排列.2.排列数排列数定义及表示从〃个不同元素中取111个元素的所有排列的个数，叫作从72个不同元素中取出/〃个元素的排列数，记作排列数公式乘积式A：=阶乘式A：=排列数的性质A；；=；A«=,0!—1知识点三组合1.组合一般地，从〃个不同

3、的元素中，任取刃SW/7）个元素为一组，叫作从〃个不同的元素中取出/〃个元素的一个组合.2.组合数（1）组合数定义：从刀个不同元素屮取茁“心Wn）个元素的，叫作从/7个不同元素中取岀刃个元素的组合数，用符号表示.(2)组合数公式组合数公式乘积形式严A：阶乘形式s—•tm—m!备注/?,〃任N+,且规定C》=特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类.2.解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略.(2)正难则反，等价转化的策略.(3)相邻问题捆绑处理的策略

4、.(4)不相邻问题插空处理的策略.(5)定序问题除法处理的策略.(6)“小集团”排列问题屮先整体后局部的策略.(7)平均分组问题，除法处理的策略.(8)构造模型的策略.题型探究类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱屮各确定一名幸运伙伴，有种不同的结果.反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从/［到〃算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类

5、办法中有3步，在第2类办法屮有2步，每步的方法数如图所示.所以，完成这件事的方法数为刃皿例+加皿，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“+”号连接，“步”用“X”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.24种B.30种C.36种D.命题角度2“步中有类”的计数问题例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，

6、且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，英余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有种.（用数字作答）反思与感悟用流程图描述计数问题，步屮有类的情形如图所示：从计数的角度看，由昇到〃算作完成一件事，可简单地记为AT完成A-D这件事，需要经历三步，即A-B,B-C,—〃其中B-C这步又分为三类，这就是步中有类.其中加（f=l,2,3,4,5）表示相应步的方法数.完成力一〃这件事的方法数为/271（加+加+创）i/k.以上给出了处理步中有类问题的一般方法.跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A.11B.12C.20D.21类型二

7、排列与组合的综合应用命题角度1不同元素的排列、组合问题例3有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时的注意点①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步