高中数学第一章计数原理4简单计数问题导学案北师大版选修2-3

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1、北师大版高中数学选修2_3导学案§4简单计数问题自主整理1.区别排列问题与组合问题的关键是元素是否_____________________.2.解决相邻元素问题的方法是____________________.3.解决元素不相邻问题的方法是____________________.4.有特殊要求的元素问题常用____________________.5.有特殊要求的位置问题常用____________________.6.无序平均分组问题常用____________________.7.相同元素分组问题常用_____________

2、_______.8.“至多”“至少”问题常用____________________.高手笔记1.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”.例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m≤n）个元素必相邻的排列有A·A个.其中A是一个“整体排列”，而A则是“局部排列”.2.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.运用插空法解决“元素不相邻问题”时，要同时借助框图和数数法求解.

3、3.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.4.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有A种，m(m

4、组合的应用题，一般来讲要解决好三大难题：一是确定问题的属性，即所给问题是排列还是组合；二是确定解题策略，即是要分类求解还是分步求解；三是选择恰当的解题方法，即是用直接法还是间接法.而这三大难题的关键则是真正弄清“三对关系”的深刻含义.（1）“分类与分步”的关系分类复杂事件A的排列与组合问题，需要对A在一个标准下分类讨论，把A分解为n类简单事件A1，A2，…，An.分类的原则是：A=A1∪A2∪…∪An,Ai∩Aj=(i≠j,i、j=1,2,…,n).在这样的原则下对事件A分类，能够确保分类的不漏不重.北师大版高中数学选修2_3导学案把

5、A分为A1，A2，…，An的同时，对应的办法S也随之被分为n类办法S1，S2，…，Sn，且S=S1∪S2∪…∪Sn,Si∩Sj=(i≠j;i、j=1,2,…,n).其结果用分类加法计数原理计算.分步事件A完成分类以后，对每一类要进行分步，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，这样就可以确保对每一类事件的分步不漏不重.事件的分步对应方法的分步.如A1分为n步B1，B2，…，Bn，则对应的有S1被分为n种方法S11，S12，…，S1n.其结果用分步乘法计数原理计算.由此可见，我们可以得到两点结论：其一，分类与分步是区别选用分类加法计数原理

6、和分步乘法计数原理的唯一标准，即分类相加，分步相乘；其二，若把事件A分为n类简单事件A1,A2,…,An，并且完成事件Ak又需分作Sk步（k=1,2,3,…,n)，对应每一步又可有Ski(i=1,2,3,…,n)种不同方法，这样完成事件A就共有N=(S11·S12·S13…S1n)+(S21·S22·S23…S2n)+…+(Sn1·Sn2·Sn3…Snn)种不同方法.（2）“有序与无序”的关系界定排列与组合问题的唯一标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题.排列与组合问题并存的时候，解答排列与组合问题，一般采用先组合后排

7、列的方法解答.（3）“元素与位置”的关系解答排列与组合问题，界定哪些事物是元素，哪些事物是位置至关重要，又没有唯一的定势标准，所以要辩证地去看待元素与位置.解题过程中，要优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置，并灵活运用“捆绑法”和“插空法”，“直接法”和“间接法”.2.排列、组合应用题的基本题型与解题策略是什么？剖析：排列、组合应用题的常见类型及解题策略如下表：类型特征常见题型解题策略组合排列指定元素型从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内先C后A策略分类求解策略CC从n个不同元素中每次取出k

8、个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素分类求解策略北师大版高中数学选修2_3导学案从n个不同元素中