2018版高中数学 第一章 计数原理疑难规律方法学案 苏教版选修2-3

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1、第一章计数原理1　两个计数原理的灵活应用计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类计数原理和分步计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观．下面通过典例来说明.1.列举法例1　某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有________种．解析　依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解．若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；若买

2、6个鼠标，则可买键盘3、4个；若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9个鼠标，则可买键盘3个．根据分类计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9(种)．答案　9点评　本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得．列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律．2．树形图法例2　甲、乙、丙三人传球，从甲开始传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好回到甲手中，则不同的传球方法的种数是________．解析　本题数字不大，可用树

3、形图法，结果一目了然．如下图，易知不同的传球方法种数为10.答案　10点评　应用两个计数原理时，如果涉及的问题较抽象，且数量不太多时，可以用树状结构直观体现．3．列表法例3　四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？解　把四个人分别编号①、②、③、④，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：四个人取贺年卡的方法①222333444②134144133③441412212④313221321方法编号123456789由表格可知，共有9种不同的方法．点评　本题是一个

4、错排问题，难以直接运用两个计数原理计算．借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决．4．直接法例4　已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl分子和NaOH分子？解　因为HCl分子由两个原子构成，所以分两步完成：第1步，选择氢原子，共有3种；第2步，选择氯原子，共有2种．由分步计数原理得共有6种HCl分子．同理，对于NaOH而言，分三步完成：第1步，选择钠原子，有3种选法；第2步，选择氧原子，有4种选法；第3步，选择氢原子，有3种选法．由分步计数原理知，

5、共有NaOH分子种数为3×4×3＝36(种)．点评　当问题情景中的规律明显，已符合分类计数原理或分步计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.2　排列、组合的破解之术排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后计算就可．说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路．下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！1．特殊元素—

6、—优先法对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑．例1　将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

7、大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．例2　记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．解析　先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步计数原理可得，不同的排法有A·A·C＝960(种)．答案　9603．不相邻问题——插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然

8、后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．例3　高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________．解析　先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种放法．所以两个舞蹈节