高中数学 第一章 计数原理 2 排列学案 北师大版选修2-3

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1、§2排列学习目标重点难点1.能说出排列的概念．重点：排列的概念及排列数公式．2．能利用计数原理推导排列数公式．难点：利用排列数公式解决有关问题.3．能利用排列数公式解决简单的实际问题.1．排列一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题．预习交流1如何判断一个问题是排列问题？提示：判断一个问题是否为排列问题的依据是，是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同元素的问题就是排列问题，而判断它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看其结

2、果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化则无顺序．2．排列数我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素m中取出m个元素的排列数，记作An.mn！An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.n－m！0规定An＝1.n当m＝n时，An＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1.我们把n·(n－1)·(n－2)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘．我们规定0！＝1.预习交流2如何理解和记忆排列数公式？m提示：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列，一共有An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种，排列数公式中的第一个数是n，依次

3、递减1，最后一个数为(n－m＋1)，共有m个连续自然数相乘．1．排列问题下列三个问题中，是排列问题的是__________．(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场)．若共有12支球队参赛，问共需进行多少场比赛？(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”，共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中共需进行多少场比赛？(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制”决出冠军．若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需

4、举行多少场比赛？思路分析：变换元素的顺序，看结果有无影响，如有影响，则是排列问题，否则，不是．答案：(1)解析：对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲，乙两队之间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)从1,2,3,4四个数字中任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？解：(1)不

5、是排列问题；(2)是排列问题．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，但做除法时，两个数谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．判断排列问题注意：(1)与排列顺序有关；(2)元素互不相同；(3)一次抽取．2．排列数问题322解方程：3Ax＝2Ax＋1＋6Ax.m思路分析：先把式中的排列数转化为关于x的表达式，注意An中m≤n且m，n为正整数的限制条件，再求解关于x的方程．322解：由3Ax＝2Ax＋1＋6Ax，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．∵x≥3，∴3(x－1

6、)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，2即3x－17x＋10＝0.2解得，x＝5或x＝(舍)，∴x＝5.3xx－2解不等式：A9＞6A6.9！6！解：由排列数公式，原不等式可化为＞6×，9－x！6－x＋2！9×8×7∴＞6，解得x＞－75.9－xx－2≥0，又∵x≤9，∴2≤x≤8.6≥x－2，又∵x为整数，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}．有关以排列数公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解，但应注意其中的字母都是满足一定条件的自然数．3．排列数字问题用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数．如

7、果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？思路分析：本题的限制条件是：(1)个位数字必须是偶数；(2)是个四位数；(3)无重复数字．解：第一步：排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,61之一，所以有A3种排法；3第二步：排千、百、十这三个数位上的数，有A6种排法．13根据分步乘法计数原理，适合条件的四位数的个数是A3A6＝360.∴这样的四位数有360个．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？2解：方法一：因为0和5不能排在首位或个位，先