高中数学第一章计数原理2排列导学案北师大版选修2-3

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1、北师大版高中数学选修2_3导学案§2排列自主整理1.一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照______________排成一列，叫作从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.我们把有关求_____________问题叫作排列问题.2.我们把_____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作_____________.3.排列数A式的展开式为：A=_____________，规定A=_____________.当n=m时，A=_____________.4.n的阶乘的展开式为

2、：n!=_____________，规定0!=_____________，利用阶乘表示排列数A的展开式为：A=_____________.高手笔记排列数公式A=n（n-1）…（n-m+1）的特点是：从自然数n开始，后一个因数比前一个因数小1，最后一个因数是n-m+1，共m个因数相乘.当m=n时，排列数公式为A=n！.名师解惑1.如何理解排列的定义？剖析：排列的定义包含两个方面的含义：一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排列”.因此，当两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，它们才是同一个排列，元素

3、完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列.定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了,否则就变成了取出两个相同元素.定义中的“一定顺序”是与位置有关的问题，对有些具体情况，如取出数字1，2，3组成三位数，就与位置有关，因123和132是不同的三位数；但如取出数字1，2，3，考虑它们的和，则与位置无关.2.正确区分排列与排列数两个定义剖析：“排列”与“排列数”是两个不同的定义.一个排列是指从n个不

4、同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它是具体的形式，而不是数；而排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，即排列共有多少种形式，它是一个数，如从a,b,c中任取两个元素的排列有以下6种：ab,ac,ba,bc,ca,cb，每一种都是一个排列，而数字6就是排列数.3.在解答有关排列问题的应用题时应注意什么？剖析：（1）注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏；（2）对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；（3）同一个问题，有时从位置出

5、发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活运用；（4）从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累;北师大版高中数学选修2_3导学案（5）要通过解答排列应用题，深化对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保：①分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集等于空集，这样才能“不重不漏”；②分步要使得各步具有连续性和独立性，保证“不重不漏”.4.排列问题的常见类型

6、和解题策略是什么？剖析：排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，大部分排列问题都可以转化为这两类问题.对有约束条件的排列问题，应注意以下类型：①某些元素不能排在或必须排在某一位置；②某些元素要求连排（即必须相邻）；③某些元素要求分离（即不能相邻）.其基本解法是：有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理元素（位置）法（即优先法）;某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，称这种方法为“捆绑法”；某些元素不相邻排列时，可选

7、排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，称这种方法为“插空法”.对于较复杂的排列问题常常通过试验、简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径.常用思维形式有直接和间接、逆向思维等.讲练互动【例1】计算下列各式的值：（1）;（2）A分析：利用排列数A的展开式A=求解.解：（1）=.（2）由,解之得≤n≤4,n∈N+,∴n=4.∴原式=A+A=2×8!=80640.绿色通道:使用排列数公式A时，注意m,n∈N+，m≤n等限制条件.变式训练1.证明：A证明：左式=+k·==右边.∴等式成立.【例2】7名班委中有A、B、C

8、三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工.（1）若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？北师大版高中数学选修2_3导学案（2）若正、副班长两职至少要选这三人中的1人担任，有多少种分工方案？分析：显然这是一道排列应用题，问题（1）可分两步进行，优先安排受限制的正、副班长，然后再排其余5名班委职务.问题（2）的反面情形比较简单，可采用排除法求解