高中数学 第一章 坐标系 3 柱坐标系和球坐标系学案 北师大版选修4-4

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1、§3柱坐标系和球坐标系[对应学生用书P15]1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r<＋∞，0≤θ<2π，－∞

2、M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)．这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为.1．空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为

3、三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在极坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不为0常数)，θ＝θ0(θ0为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程ρ＝1，z＝－1分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1，φ＝分别表示空间中的什么曲面？提示：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；方程z＝－1表示与xOy坐标面平行的平面，此平面与xOy非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司

4、工作的高度重视和支持。面的距离为1且在此坐标面的下方；在球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面；方程φ＝表示顶点在原点，半顶角为的上半个圆锥面，中心轴为z轴．[对应学生用书P16]将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标[例1]　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．[思路点拨]　本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一：结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点C1的直角坐标，再分别化为柱坐标、球坐标即可．[精

5、解详析]　设点C1的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0.法一：结合图形及三种坐标系的概念知C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为(其中tanφ＝，0≤φ≤π)．法二：由公式及得及(x≠0)．又所以及结合图形得θ＝，由cosφ＝得tanφ＝所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为(其中tanφ＝，0≤φ≤π)．1．在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定距离和角大小．2．转化点M的直角坐标(x，y，z)(1)为柱坐标(r，θ，z)时，需要对公式进行变换得

6、且求θ时要特别注意角θ所在象限，从而确定θ的取值．(2)为球坐标(r，φ，θ)时，需要对公式进行变换得(x≠0)．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。若本例中条件不变，求点C，D的柱坐标与球坐标．解：结合图形知点C的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为，球坐标为.同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为，球坐标为.由点的柱坐标求直角坐标[例2]　根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)；(2).[思路点拨]　本题考查关

7、系式的直接应用，设点的直角坐标为(x，y，z)，利用上述关系式求出x，y，z即可．[精解详析]　(1)∵(r，θ，z)＝，∴∴(－，1,3)为所求．(2)∵(r，θ，z)＝，∴∴(1,1,5)为所求．将点的柱坐标(r，θ，z)化为直角坐标，只需运用公式转化成三角函数的求值与运算即可．1．设点M的柱坐标为，求它的直角坐标．解：∵∴所以点M的直角坐标为(，1,7).非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。由点的球坐标求直角坐标　　

8、[例3]　设点P的球坐标为(r，φ，θ)＝.求它的直角坐标．[思路点拨]　本题考查关系式的直接应用，解答此题需要将r，φ，θ代入求得x，y，z即可．[精解详析]　∵(r，φ，θ)