“名称互余角互余”在高中数学教学中的趣用

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1、“名称互余角互余”在高中数学教学中的趣用　　初中“解直角三角形”教学中，间接介绍了一组三角诱导公式：在Rt△ABC中，A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB.用文字表述为“名称互余角互余”.　　到了高中阶段，随着角的范围扩大至全体实数，该诱导公式也仍然成立.虽然有了新的解释、证明与记忆方法，但仍可用“名称互余角互余”来记忆.这一记忆方法只要验证了两个角（各自在实数范围内取值，不一定是锐角）的和是90°（即）后，即在“角互余”及三角函数“名称互余”的前提下，这两个三角函数值相等.这一记忆方法缩略了应用公式前的一步――等量代换，而这一

2、步“等量代换”在教学中，让很多初学诱导公式的学生望而却步.　　以下略举几例该诱导公式在高中教学中的趣用.　　【例1】化简sin（π-α）+cos（π-α），其中n∈Z.　　【分析】原式=sin（nπ--α）+cos（nπ+-α），　　常规思路：分n为奇数、偶数分别讨论均可得：原式=0.　　也可这么来观察，（-nπ++α）+（nπ+-α）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法为：　　因为sin（-nπ++α）=cos（nπ+-α），　　所以，原式=-sin（-nπ++α）+cos（nπ+-α）　　=-cos（nπ+-α）+cos（nπ+-α）=0.4　　【例2】设α∈（0，），β∈（0，）

3、，且tanα=，则（）.　　A.3α-β=πB.2α-β=π　　C.3α+β=πD.2α+β=π　　【略解】tanα===cot，　　又由已知可得α∈（0，），∈（0，），-∈（，），所以，α+=，故选D.　　【例3】函数y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）的最大值为，最小值为.　　【分析】常规思路之一：用两角和与差的正、余弦公式打开得y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）　　=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5sin80°cosx-5cos80°sinx　　=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5cos10°cosx-5sin10°

4、sinx　　=sinx（3cos10°-5sin10°）+cosx（3sin10°+5cos10°）　　=sin（x+ψ）　　=sin（x+ψ）（其中，ψ为辅助角，tanψ=）.　　也可这么来观察，（x+10°）+（80°-x）=90°，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下：　　5sin（80°-x）=5cos（x+10°），　　y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）　　=3sin（x+10°）+5cos（x+10°）　　=sin（x+10°+ψ）（其中，ψ为辅助角，tanψ=，ψ为第一象限角）.　　故最大值为，最小值为-.4　　【例4】已知函数f（x）=2sin（2x+）

5、+cos（2x-）.　　（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；　　（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值.　　【分析】常规思路：同上例，需将sin（2x+）及cos（2x-）分别根据两角和的正弦及两角差的余弦公式展开、合并同类项后，再用辅助角公式，最终化为3sin（2x+）的形式，问题得解.　　也可这么来观察，（2x+）+（-2x）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下：　　f（x）=2sin（2x+）+cos（-2x）=2sin（2x+）+sin（+2x）=3sin（2x+）　　（Ⅰ）最小正周期T=π，递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）.　　（Ⅱ）函数f（x）在区

6、间[-，]上的最大值和最小值分别为-，3.　　【例5】已知sin（-α）=，则cos（+2α）的值为（）.　　A.B.-C.D.-　　【分析】本题将+2α看成2（+α），而（+α）+（-α）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下：　　【解】由已知可得sin（-α）=cos（+α）=，所以，cos（+2α）=2cos2（+α）-1=-.故选D.　　以下为练习，供读者参考.　　【作业1】化简sin（π-α）-cos（π-α），其中n∈Z.　　【作业2】计算sin（x-）+cos（x+）=.　　【作业3】已知sin（α-）=，则cos（α+）的值为.　　【作业4】已知sin（α-）=，则c

7、os（α+）的值为（）.4　　A.B.-C.D.-　　【作业5】若α是第三象限角，且cos（75°+α）=，则cos（15°-α）+sin（α-15°）的值为.　　【作业6】已知sin（-x）=，则sin2x的值为.　　【作业7】求函数f（x）=sin（+4x）+cos（4x-）的最小正周期和递减区间.　　【作业8】[2014年高考全国课标Ⅰ理第8题5分]设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）.　　A.3α-β=B.2α