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《高中数学 第一章 计数原理 1_5 二项式定理课堂导学 苏教版选修2-31》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、二项展开式的通项【例1】已知展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有有理项.解析:依题意,前三项系数的绝对值是1,,且所以n2-9n+8=0.所以n=8(n=1舍).所以Tr+1=(1)若Tr+1为常数项,当且仅当=0时,即3r=16.因为r∈N,这不可能,所以展开式中没有常数项.(2)若Tr+1为有理项,当且仅当为整数.因为0≤r≤8,r∈N,所以r为4的倍数.所以r=0,4,8.则有理项为T
2、1=x4,T5=温馨提示对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练,是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例2】已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992,求展开式中系数最大的项.解析:令x=1得各项系数的和为(1+3)n=4n,而各项的二项式系数的和为由已知4n=2n+992,∴2n=32(2n=-31舍),∴n=5,设第r+1项系数最大,则∴≤r≤,又r∈N,∴r=4.∴系数最大的项是第5项.T5=.温馨提示(1)赋值法是解决二项展开式有关系数(或二项式系数)“和”问题的一般方法.(2)要注意系数和二项
3、式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例3】(1)9192除以100的余数是几?(2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.(1)解:∵9192=(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+1,由于前面各项均能被100整除,只有末尾两端不能被100整除,由于·90+1=8281=8200+81,∴被100除余81.(2)证明:32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=(8n+1+C1n+18n+8n-1+…+·8+1)-8n-9=8n+1+·8n+·8n-1+
4、…+·82,而上式各项均为64的倍数,∴32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.温馨提示用二项式定理证明整除问题时,首先需注意(a±b)n中,a、b中有一个必须是除数的倍数,其次,展开式的规律必须清楚余项是什么,必须写出余项,同理可处理系数的问题.各个击破类题演练1求展开式中的常数项.解析:由于本题只是5次展开式,可以直接展开［(x+)-1］5,即［(x+)-1］5=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)2+5(x+)-1.由x+的对称性,只有在(x+)的偶次幂中,其展开式才会出现常数项,且是各自的中间项,所以
5、其常数项为=-51.变式提升1若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( )A.1 B.-1C.0D.2解析:(2x+3)4=,∴a0=(3)4=9,a1=·21·(3)3=243,a2=·22·(3)2=72,a3=·23·3=323,a4=·24=16.∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=972-(563)2=9409-9408=1.答案:A类题演练2(1)若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a
6、1+a3)2的值为( )A.-1B.1C.0D.2(2)(2x+)3的展开式中各项二项式系数之和为_________.解析:(1)令x=1,则(2+)3=a0+a1+a2+a3,令x=-1,则(-2+)3=a0-a1+a2-a3,相乘得(a0+a2)2-(a1+a3)2=［(a0+a2)+(a1+a3)］［(a0+a2)-(a1+a3)］=(2+)3(-2+)3=(-1)3=-1,选A.(2)各项二项式系数之和为=23=8.答案:(1)A (2)8变式提升2等于( )A.3×210B.310C.D.解析:观察结
7、构与二项展开式结构作比较,发现.所以原式=,选D.答案:D类题演练3求证:对任何自然数n,33n-26n-1可被676整除.证明:当n=0时,原式=0,可被676整除;当n=1时,原式=0,也可被676整除;当n≥2时,原式=27n-26n-1=(26+1)n-26n-1=(+…+262+·26+1)-26n-1=26n+·26n-1+…+·262.每一项都含262这个因数,故可被262=676整除.综上所述,对一切自然数n,33n-26n-1可被676整除.变式提升3(1)设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50
8、=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a50x50,则a3为( )A.B.C.D.(2)(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是……( )A.-297B.-252C.
