高中数学 第一章 计数原理 1_5 二项式定理课后导练 苏教版选修2-31

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1、高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课后导练苏教版选修2-3基础达标1.(2x+)4的展开式中x3的系数是(　　)A.6B.12C.24D.48解析:(2x+x)4=x2(1+2x)4,在(1+2x)4中,x的系数为·22=24.答案:C2(全国高考卷Ⅰ)的展开式中常数项是(　　)A.14B.-14C.42D.-42设(2x3-)7的展开式中的第r+1项是Tr+1=(2x3)7-r(-)r=·(-1)r·,当-+3(7-r)=0,即r=6时,它为常数项,∴(-1)621=14.答案:A3.二项式

2、(a+2b)n展开式中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系数为(　　)A.24B.18C.16D.6解析:T2=(2b)1=b,所以2n=8,n=4.所以=6.答案:D4.(2005天津高考)设n∈N*,则=__________.解析:+…+==.答案:5.(北京高考)的展开式中的常数项是___________.(用数字作答)解析:Tr+1=.由题意知6-=0.∴r=4,即(x-)6的展开式中的常数项是第5项.∴T5=(-1)4=15.答案:156.求展开式中的常数项.解析:(x+

3、-1)5=［(x+)-1］5,∴它的展开式通项为Tr+1=(-1)r(0≤r≤5,r∈N).∴当r=5时,T6=·(-1)5=-1;当0≤r<5时,(x+)5-r的展开式通项为Tk+1′==(0≤k≤5-r).∵要求常数项,∴令5-r-2k=0,即r+2k=5.∴.∴常数项=(-1)3+(-1)=-51.7.求的展开式.解析:===(64x6-192x5+240x4-160x3+60x2-12x+1)=64x3-192x2+240x-160+.8.设a>1,n∈N,且n≥2,求证

4、:<.证明:设n[]a-1=x,则(x+1)n=a.欲证原不等式,即nx<(x+1)n-1,其中x>0.因为(x+1)n=+…+x+1>x+1,即(x+1)n>nx+1,原不等式成立.9.求展开式中的常数项.解析:把

5、x

6、+暂时看成一项,按差的立方公式展开,然后逐项考察各项的常数项.原式=(

7、x

8、+)3-3(

9、x

10、+)2·2+3(

11、x

12、+)·22-23.(

13、x

14、+)3与12(

15、x

16、+)两项中均无常数项,而-6(

17、x

18、+)2的常数是-12,故原式展开式中的常数项为(-12)+(-8)=-20.10.求

19、展开式中的有理项.解析:先明确求展开式中的哪几项,进而求出这些项.展开式中的有理项,即为通项公式中x的指数为整数的项.∵Tr+1=,令∈Z,即4+∈Z,且0≤r≤9.∴r=3或r=9.当r=3时,=4,T4=(-1)3··x4=-84x4;当r=9时,=3,T10=(-1)9··x3=-x3.综合运用11.在的展开式中,有理式的项数为(　　)A.1B.2C.3D.4解析:Tr+1=(-1)r,所以要使Tr+1为有理式,则为整数,即3-r+为整数.又0≤r≤10,所以r=2,5,8.

20、答案:C12.已知的展开式中x3的系数为,常数a的值为_________.解析:本题只与某一项有关,用通项公式,设第r+1项是含x3的项,则有,得=x3,故r-9=3,即r=8.所以.所以a=4.答案:413.(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为多少?(用数字作答)解析:(x+2)10(x2-1)=x2(x+2)10-(x+2)10.本题求x10的系数,只要求(x+2)10展开式中x8及x10的系数,Tr+1=·2r,取r=2,r=0得x8的系数为180;x10的系数为,

21、所以所求系数为180-1=179.拓展探究14.已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n∈N)的展开式中x的系数为19,求f(x)展开式中x2项系数的最小值.解析:∵f(x)=2+(m+n)x++…,∴m+n=19,=［m2+n2-(m+n)］=［-(m+n)］=［-19］.当且仅当(m-n)2最小时,取最小值.又∵m+n=19,∴m=10,n=9或m=9,n=10时(m-n)2最小,此时,f(x)展开式中,x2项的系数最小值为［-19］=81.