浅谈数学解题教学中的审美思想

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1、浅谈数学解题教学中的审美思想　　摘要：数学美的追求是数学不断发展的思想源泉，同时数学审美思想也大大促进了其他科学的发展。通过数学家对美的追求及数学美的创造，阐述了数学美的追求对科学发展的推动作用。　　关键词：数学美；解题；教学；审美　　自然界是美的。自然界的美构成了一切审美对象的原始基础，数学是对自然界的抽象化描述，自然界的美的特征无疑在数学模式中要有所呈现，这就是数学内容的规律性、有序性，如简单、对称、和谐、统一等，这些有序化特征也构成了数学的自由性本质，这就是所谓的“数学美”。　　对数学美的追求既是数学家从事创造活动的动力之一，又是他们判断和选择成功的重要标准，因而追求数学美是数

2、学发现的重要因素。德国数学家韦尔说：“我的工作就是努力把真与美统一起来；要是我不得不在其中选择一个，我常常是选择美。”著名数学家冯?诺伊曼强调：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准主要都是美学的。”鲁滨孙也曾写道：“这是一个事实，就是已经组织起来的数学世界在很大程度上是按我们关于数学美及纯粹数学的重要性的直觉组织起来的。”科学史上的无数事例已证实了这一点。5　　简洁性、对称性、统一性、和谐性和奇异性等数学美的特性是重要的方法论因素，数学家通过追求数学美而导致发明创造。例如：欧氏几何第五公设看起来不像前四条那样简明，人们便怀疑其作为公设的资格，追求它的证明而导致了非欧几何的诞

3、生？二进制从某种意义上讲，是从逻辑关系的简明性考虑引出的结果。而加法与减法、乘法与除法、微分与积分等逆运算的建立，就是追求对称美的产物。真数n与对数lgn的增长表现出明显的不对称，而且真数的增长均匀，而对数的增长却不均匀，数学家从对称美的考虑而导致了自然对数的产生。又如，在射影平面内，两点能确定一条直线，反之，两条直线未必能有一个交点，为了解除这个不对称关系，法国数学家笛沙格大胆设想：两条平行线相交于一个理想点（无穷远点），这样便创立了对偶原理（射影平面内的定理中，将“直线”与“点”互换后仍成立）以至射影几何学。数学的三次危机表明，为消除悖论而导致了数学的重大进展，这是数学家追求和谐

4、美的典范。而公理化方法也正是为了追求系统内部的简洁与和谐。　　用审美获取数学发现已成为不争的事实，被称为数学中的美学方法。解题与数学发现有着相同创造本质，在数学解题中，往往是通过数学审美而获得数学美的直觉，使题感经验与审美直觉相配合，激活数学思维中的关联因素，从而产生解题思路。与方法和策略相比，用数学审美启发解题思路应是指导性原则，我们称之为审美思想。法国著名数学家庞加莱说：“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。”　　那么，如何在教学中展现审美思想呢？这是数学教学实践中值得探讨的一个课题。在此本人通过数学解题教学形式展现审美思想：　　例1.（1）若f（x）=■，求f（x）；（

5、2）若f（x）=f2（x），求f（x）.　　分析：通过审美、直觉调整，可直接看出：5　　（1）f（x）=■，所以f（x）=■　　（2）f（x）=x2　　例2.已知■+■+■+■=1，　　■+■+■+■=1，　　■+■+■+■=1，　　■+■+■+■=1，　　求x2+y2+z2+w2的值（美国第35届中学生数学竞赛题）.　　解：由已知条件式的结构特征，用统一美的观点来看，22、42、62、82就是关于t的方程　　■+■+■+■=1　　的根，方程变形为　　t2-（x2+y2+z2+w2+1+9+25+49）t3+at2+bt+c=0　　由韦达定理得：　　22+42+62+82=x2+y2

6、+z2+w2+1+9+25+49　　即x2+y2+z2+w2=36　　例3.设A、B、C是△ABC的三个内角，且　　1sinAcosA1sinBcosB1sinCcosC=0，　　求证：△ABC是等腰三角形。　　分析：条件式排列的整齐有序且正弦、余弦的相应对称，可使我们获得如下关联直觉：点的坐标，sin2α+cos2α=1，三点共线，于是产生如下解法：5　　解：设P（sinA，cosA），Q（sinB，cosB），M（sinC，cosC）是单位圆上的三个点，由已知条件知这三点共线，于是P、Q、M中至少有两点重合，即：　　sinA=sinBcosA=cosB或sinA=sinCcosA

7、=cosC或sinB=sinCcosB=cosC　　而0　　所以A=B或A=C或B=C　　可见，从数学审美创造的角度出发，按照美的标准与方式思考问题，在某些情况下会获得解决问题的突破口。　　在解题教学中展现数学审美思想是数学素质教育的重要内容，有人提出，解题教学应提倡通法，淡化特技，这一观点得到同行的普遍认同，这里再补充一点：强化数学思想！只有以数学思想方法统摄教学过程，才能使学生从本质上去理解课本中的知识，才能真正掌握各种具体的解题方法，才能把数学知识内