一题多解培养学生的异向思维能力浅析

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1、一题多解培养学生的异向思维能力浅析　　一题多解能拓宽学生的思路，培养学生思维的灵活性，用这种方法培养出的学生，有独到的见解，同时也能引导学生向创造性思维方向发展，从而适应新课改的需要。?　　有些几何题目，乍看平淡无奇，但细品却蕴藏着丰富的教育价值，教师结合课堂教学的需要，通过精心设计，灵活使用辅助线，就会使这些题目放出奇光异彩，这里就一道几何证明题来谈谈自己在这方面的做法和体会。?　　题目：如下图，已知△ABC中，AB=AC，D是AB上的任意一点，E是AC延长线上的一点，且BD=CE，连结DE交BC于F，求证：FD=FE?　　在全等三角形复习课中，

2、我将此题作为例题，对引导辅助线的作法进行分析，得到三种证法。（如图1）　　　　　　　　图1　　　　证法1：过D作MD∥AC，交BC于M，先证△DMF≌△ECF，可得FD=FE。?　　证法2：过E点作EN∥AB，交BC的延长线于点N，然后证△BDF≌△4NEF，可得FD＝FE。?　　证法３：分别过D、E作DP⊥BC，EQ⊥BC，垂足分别为P、Q，先证△BDQ≌△CEQ得到DP＝EQ，再证△DPF≌△EQF，就可得到FD=FE。?　　通过讲述，不仅以题带面复习了“三角形”的有关知识，而且使学生掌握了“利用平行线构造全等三角形”的重要方法。?　　时隔不久

3、，在学习“四边形”的复习课中，我又出示此题，经老师的点拨与启发，同学们有发现如下两种证法。（如图2）?　　　　　　图2　　　　证法4：过D作DM∥AC，交BC于M，连结DC、ME，易证DM=CE，得到□DMEC，所以FD=FE。?　　证法5：过点D作DN∥BC交AC于N，则有?　　　　AD=ANAB=AC?BD=CEBD=CN?DN∥CFCN=CE?FD=FE?　　课后小结时，我要求学生认真地比较五种证法的利弊与根据，让同学们体会到一道好的数学题像一首好曲子百弹不厌一样，能激发人的学习兴趣，启迪人的思维。?　　初三第二学期，在复习“相似三角形”时，

4、我再次出示此题，这一次，大家明白老师的用意，很快展开热烈的讨论与认真的分析，又发现如下一种证法。（如图3）?4　　　　　　图3　　　　证法6：过点F作MF∥BA交AC于M,设FM=m，易证CM=FM=m，设BD=CE=n，AB=AC=a,由FM∥BA可得FMDA=EMEA，即ma-n=m+na+n，所以m=12（a-n）,又由EFDE=FMDA可得EFDF=a-n2/（a-n）=12,即F是ED的中点，因此，FD=FE。?　　接着我一边画图，一边说：“若将此题中的条件AB=AC去掉，点D还是AB上的点，直线DE绕点D向上旋转，当DE和AC交于点F，

5、与BC的延长线交于点E，且BD=FC时，求证：AC?FE=AB?DE”。?　　师生分析其辅助线的作法，得到两种证法。（如图4）?　　　　　　图4　　　　证法7：过点D作DN∥AC交BC于N，则ACDN=ABBD，即ACAB=DNBD，而DEFE=DNFC，又BD=FC，∴ACAB=DEFE，即AC?FE=AB?DE。?　　证法8：过F点作FM∥AB交BC于M，则ACFC=ABFM，即ACAB=FCFM，而DEFE=BDFM，又BD=FC，所以ACAB=DEFE?　　　　4　　　　图5　　　　∴AC?FE=AB?DE?　　在初三，复习“解直角三角形”

6、一章时，我第四次选用此题作例题，师生共同分析又得出三种证法，由于篇幅有限，只写其中的一种。?　　证法9：作DN⊥BC于N，DM⊥BC于M，因为AB=AC，所以可证B=3=4，设DB=CE=a,在Rt△BDN中，DN=a?sinB，在Rt△DNF中，DF=DN/sin1=a?sinB/sin1,同理可证EF=ME/sin2=a?sin4/sin2，因为1=2，B=4，所以DF=EF。（如图5）?　　　　　　　　至此，在跨越两年的教学过程中，我根据教学内容，合理地选用此题做例题共给出九种不同的证法，而且引导学生归纳了用不同知识证线段相等的辅助线作法。?

7、　　事实雄辩地证明，教师只要合理而巧妙地使用辅助线的作法，适当地做些一题多解，一题多变的习题，就能以题带面复习章节知识，使学生加深对概念、命题的认识，沟通教学知识间的联系，既巩固了双基知识，又激发学生的学习兴趣，最重要的是培养了学生勇于探索的个性品质和异向思维能力，真可谓是一箭多雕，何乐而不为呢？4