游走在垂线与垂面之间

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1、游走在垂线与垂面之间　　从高中最核心的数学知识和方法出发，探讨数学智慧.　　几何法和向量法是求解立体几何问题的两大方法.向量法侧重于量化和计算，其本质是把几何问题代数化.几何法则更能体现立体几何的真正韵味――通过缜密的推理和演绎，体味空间想象的魅力.接下来，我们将从几何法入手，通过对一张重要知识结构图的解读，领略立体几何那交织着逻辑与想象的别样风景.　　重中之重是垂线　　高中阶段，立体几何模块的绝大部分知识都是围绕着“平行”与“垂直”这两种特殊的位置关系展开的.图1基本囊括了求解高中立体几何问题所需的定理或定义.　　①“线∥线→线∥面”即线面平行的判定定理

2、：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.　　②“线∥面→线∥线”即线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.　　③“线∥面→面∥面”即面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.　　④“面∥面→线∥面”即线面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面.　　⑤“线⊥线→线⊥面”即线面垂直的判定定理：6一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.　　⑥“线⊥面→线⊥线”即线面垂直的定义：一条直线垂

3、直于一个平面，则该直线与该平面内所有直线都垂直.　　⑦“线⊥面→面⊥面”即面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.　　⑧“面⊥面→线⊥面”即面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直.　　⑨“线⊥面→线∥线”即线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.　　⑩“线∥线→线⊥面”：两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面.　　？?？?？?“面∥面→线⊥面”：一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面.　　？?？?？?“线⊥面→面∥面”：垂直于同一

4、条直线的两个平面平行.　　从图1可以看出，“线面垂直”知识处于该知识结构图的核心地位，是联系其他立体几何知识的“交通要道”.　　“线面垂直”的相关定理、定义不仅广泛应用于立体几何证明题，也大量出现在立体几何计算题中.　　如图2所示，要求直线l与平面α所成角∠PAO的大小，必然要用到垂线PO.在图3中，要求二面角α-l-β的平面角∠PAO的大小，还是不能回避垂线PO.可见，无论是求空间角还是距离，“垂线”在立体几何计算题中都有着举足轻重的地位，可谓是一“垂”定音.6　　然而，相较于平行关系，垂直关系显得更难判断一些.　　如图4所示，在正方体ABCD-A1B1

5、C1D1中，我们不难看出BC1∥平面AB1D1、平面AB1D1∥平面BC1D，却很难察觉出A1C⊥BC1、A1C⊥平面AB1D1.　　那么，能否找到一种有效的方法，快捷、准确地得到垂线或垂面呢？　　发生在垂线与垂面之间的视觉游戏　　我们回顾图1中⑦和⑧所示的两条定理.　　⑦“线⊥面→面⊥面”即面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.　　这告诉我们：经由垂线，可以“生长”出无数个过这条垂线的平面，它们都与已知平面垂直.简言之，“有垂线的地方就有垂面”.　　⑧“面⊥面→线⊥面”即面面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于

6、两平面交线的直线与另一个平面垂直.　　这告诉我们：“有垂面的地方就有垂线”.　　这两条定理把垂线与垂面紧紧地捆绑在一起.　　现在，让我们玩一个类似“击鼓传花”的游戏，以“垂线→垂面→垂线→垂面→……”的形式不断传递（见图5），直至得到所需的结论.　　传递①：已知PA⊥平面ABC？圯平面PAB⊥平面ABC.　　传递②：增加条件“BC⊥AB”，因为平面PAB∩平面ABC=AB，由平面PAB⊥平面ABC？圯BC⊥平面PAB.　　传递③：BC⊥平面PAB？圯平面PBC⊥平面PAB.　　传递④：增加条件“AD⊥PB于D”，因为平面PBC∩6平面PAB=PB，故由平面

7、PBC⊥平面PAB？圯AD⊥平面PBC.　　传递⑤：联结DC，由AD⊥平面PBC？圯平面ADC⊥平面PBC.　　传递⑥：增加条件“BE⊥DC于E”，因为平面ADC∩平面PBC=DC，而BE⊥DC，故由平面ADC⊥平面PBC？圯BE⊥平面ADC.　　通过上述传递，我们发现了一条显著规律：垂线、垂面是交替出现的，即由平面α上的垂线l1可以确定该平面的垂面β，而由垂面α，β又能得到其中一个垂面的垂线l2.　　在传递中，尽管垂线l1或垂面α是固定的，但由此延伸出的垂面β或垂线l2却不是唯一的.　　所有过平面α的垂线l1的平面均为平面α的垂面，即一条垂线可以引出一系

8、列过该垂线的垂面.　　如图6所示，在传递①中，只要在BC上任取一点