应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”专题辅导 不分版本

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1、应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”http://www.DearEDU.com王志强三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。三垂线定理及其逆定理，概括起来，可叙述为：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影，若垂直其中之一，则必垂直于另一。欲运用上述定理解题，关键注意以下几点：①要善于观察平面不是水平位置的情况，即选好“平面”。②要注意四条线：平面内的一条直线、斜线、垂线、射影，找出（作出）垂线是至关重要的；③三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。若利用三垂线定理作二面角的平面角

2、（这里以二面角为锐角加以说明，以下若不作说明，都是以锐角为例，当然若遇到钝角可以转化为求锐角的大小）。我们知道关键是由一个半平面内一点，作另一个半平面的垂线，此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线，而这条垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供！因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面垂直。即：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，就垂直于另一个平面（简记为：面面垂直找交线，垂直交线垂直面。）。这样在解题过程中，三垂线定理及两面垂直的性质定理两者有机地结合起来，达到严密推理，快速解题之目的。综上所述，我

3、们在作二面角的平面角时，可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个平面（怎样尽快找到第三个平面呢？可从结论出发，使用逆向思维）。若存在（已知图形中不存在，可以作）第三个平面，就在此平面内作交线的垂线，就等于作出了那个半平面的垂线，这时要注意在第三个平面内，过哪一点向交线作垂线呢？回答是这个点必在另一个半平面内（此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点，有时看结论所求二面角的形式，就知道这一“点”。），这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角，此平面角含在封闭的直角三角形中，到此完成了由二面角向平面角转化的过程。例1直三棱

4、柱的底面是等腰直角三角形，，AC=1，。连结、，求二面角的大小。分析从结论“求二面角的大小”出发，一方面考虑从点A向平面引垂线，关键是看这条垂线是否落在垂直于平面的某一“垂面”内？换句话说在图中有没有垂直于平面的某个平面？如图1找一下，没有。这时从另一方面就该调换个角度考虑从点C向平面引垂线，同样找一找在图中有没有垂直于平面的某个平面？显然存在，就是底面ABC。那么在底面ABC内，过点C引CD于D，D为AB的中点，由两个平面垂直的性质定理可知：CD平面，下面的道路比较平坦了，在侧面内利用三垂线定理作出二面角的平面角：过D向

5、棱引垂线，即DE于E，连结CE，有，故是二面角的平面角。利用平几知识，在中易求从上面的例子不难看出，“垂面ABC”在证题中的重要作用。所以我们在做这类题时，关键是找垂直于二面角的两个半平面之一的“垂面”。为了尽快找到，一般可以从结论出发，逆向思维是比较快的。如果把垂直的两平面的“交线”定义为“基线”，那么整个过程可以概括为：“垂基垂棱连”。把整个求作二面角的平面角的过程归纳为以下思维程序：探求结论二面角的形式，如形式，在图中是否存在（或作出）过点A且垂直于平面CDB的垂面？否则探求过点B且垂直于平面ACD的垂面？两者选在图

6、中存在“垂面”的→寻找二面角的一个面与它的垂面这两个面的交线→在垂面内作交线的垂线（即得二面角的一个面的垂线段且夹在二面角之间）→利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。按照以上思维程序进行探索，往往思维畅通无阻。例2在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起来，使A在平面BCD上的射影E落在BC上，则二面角的正弦值为_________。分析先探求过点D向平面ABC作垂线的问题，由已知AE平面BCD，所以平面ABC平面BCD→平面ABC平面BCD=交线BC→在平面BCD内由，所以DC平面ABC（垂线

7、段DC夹在两面ABC、ABD之间）→利用三垂线定理的逆定理，即由斜线DA棱AB，得射影CA棱AB，故是二面角的平面角。在中不难得出例3如图3，在△ABC中，，平面ABC，若SA=SB=BC，求二面角的大小。分析方法1考虑由点B向平面SAC引垂线，因为底面BAC侧面SAC，底面BAC是垂面，再求“垂基垂棱连”，按这样的思路如图4，可得EFB是二面角B—SC—A的平面角。设SA=AB=BC=a，最后求得。方法2考虑由点A向平面SBC引垂线，读者易证BC平面SAB，所以平面SAB平面SBC，这时平面SAB是垂面，SB是基线，垂基

8、垂棱连，按这样的思路如图5，可得是二面角B—SC—A的平面角。设SA=AB=BC=a，由条件易求得，所以即。