让学生主动地探索数学

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1、让学生主动地探索数学　　学习数学较理想的状态是能够从有限的例题出发举一反三，同时让学生体验自行编题的乐趣，培养学生的创新意识和学习能力，真正达到“授人以渔”的目的.这里笔者以在上课时讲授的一道例题为例，谈谈如何让学生尝试发现问题和解决问题.　　在选修2-1第2章的复习课上，我举了如下例题：　　例1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，B（-■，0），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.　　解：设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）　　则k

2、■+k■=■+■=■+■　　=■　　联立方程组x=my+■y■=2px　　则y■-2pmy-p■=0　　∵2my■y■+p（y■+y■）=2m（-p■）+p■pm=0　　∴k■+k■=0，即直线BM与直线BN的斜率互为相反数.　　一般情况下，到此一些数学教师认为已完成了学习任务，失去了继续探索的机会.　　此题一出，接下去便是见证学生数学学习能力与创新能力的时候了.　　让学生思考：你可以编出怎样的题目？此时有同学提出如下问题，这里我们记为推广1.5　　推广1：已知过抛物线y■=2px（p>0）焦点F的直

3、线交抛物线于M，N两点，是否在平面上能找一定点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.　　解：如果存在，根据对称性，该点一定在对称轴（即轴）上，设B（a，0）　　设直线的方程为x=my+■，M（x■，y■），N（x■，y■）　　则k■+k■=■+■=■+■=0　　∴2my■y■+（■-a）（y■+y■）=0　　联立方程组x=my+■y■=2px　　则y■-2pmy-p■=0　　∴-2mp■+2pm（■-a）=0，对任何实数m恒成立；即a=-■，　　即存在一

4、定点B（-■，0），使直线BM与直线BN的斜率互为相反数恒成立.　　完成此题的解答后，思维开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：　　推广2：已知抛物线y■=2px（p>0），点M为抛物线的对称轴与其准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.　　解答可得直线AD必定经过此抛物线的焦点.5　　到此有的同学已经非常满意这样的结论与推广，但有同学立刻提出这样的想法，上述过焦点的直线是否可以改成过对称轴

5、上定点A（a，0），（a>0），上述的性质是否也存在？经过思考的确具有同样的结论.　　推广3：已知抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，点B为点A关于原点对称的点，求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反数.　　推广4：已知过抛物线y■=2px（p>0），过点A（a，0），（a>0）直线l交抛物线于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.　　此题可求得B（-a，0）.　　推广5：

6、已知抛物线y■=-2px（p>0），点m（-a，0），（a>0），过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与抛物线分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经过一定点.　　解答可得直线AD必定经过（a，0）.　　到此似乎非常完美了，但有学生提出在椭圆或双曲线也有类似结论，答案是肯定的，的确存在类似结论，下面以椭圆为背景推广之.　　例2：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，B（■，0），其中（c=■），求证：直线BM与直线BN的斜率互为相反

7、数.　　解：设直线的方程为x=my+c，M（x■，y■），N（x■，y■）　　x=my+c■+■=1得（a■+b■m■）y■+2mcb■y-b■=0　　∴y■+y■=-■　　∴y■?y■=■　　则k■+k■=■+■5　　∵y■?（x■-■）+y■?（x■-■）=2my■y■+（c-■）（y■+y■）　　=2m?■-■（-■）=0　　∴k■+k■=0　　即命题得证.　　完成此题的解答后，学生思维第2次开始活跃，有的同学认为此题也可以推广为下列命题：　　推广6：已知过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F

8、的直线l交椭圆于M，N两点，是否在x轴上能找一点B，使直线BM与直线BN的斜率互为相反数.若存在，求出B的坐标；若不存在，请说明理由.　　结论同样成立.　　此题的解法可结合例2及推广1即可证明，存在B（■，0）.　　以下推广7和8均可自行证明，这里不再证明.　　推广7：已知椭圆■+■=1（a>b>0），点M为椭圆的对称轴与其右准线的交点，过点M作斜率互为相反数两直线l■，l■与椭圆分别相交于A、B、C、D四个点，其中A、C两点的横坐标相同，求证直线AD经