巧妙规避分类讨论

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1、巧妙规避分类讨论　　在解答数学问题的过程中，有时巧妙地利用相关的数学思想方法，可以规避分类讨论，从而快速解题.　　例1已知不等式ax2-2x+2>0对任意的x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围.　　分析本题若令y=ax2-2x+2，则需要对a=0和a≠0两种情况进行分类讨论，当a≠0时，还要考虑函数所对应方程的实根的分布情况.若将a进行分离，则可以避免对a的分类讨论.　　解由题意知，当x∈[1，4]时，要使ax2-2x+2>0恒成立，只需a>恒成立，即a>[]max.　　令y==-2（-）2+.由x∈[1，

2、4]，得≤≤1.于是可知，当=时，ymax=.　　所以，实数a的取值范围是a>.　　例2已知

3、m

4、≤2，求不等式x2+mx+1>2x+m恒成立时x的取值范围.　　分析如果按照常规思路把x视为变量，可以构造关于x的二次函数f（x）=x2+mx-2x-m+1，那么要满足f（x）>0恒成立，就需要分多种情况讨论.如果变换主元，构造关于m的一次函数g（m）=（x-1）m+x2-2x+1，那么问题可转化为在[-2，2]上g（m）>0恒成立时x的取值范围，从而避免了讨论.　　解由不等式x2+mx+1>2x+m，可得x2+m

5、x+1-2x-m>0.4　　令g（m）=（x-1）m+x2-2x+1，g（m）>0在[-2，2]上恒成立，则有g（-2）>0，g（2）>0，即x2-4x+3>0，x2-1>0，解得x3.　　所以，不等式x2+mx+1>2x+m恒成立时x的取值范围是x3.　　例3已知函数f（x）=4x2-2（a-2）x-2a2-a+1，在[-1，1]上至少存在一个实数c，使得f（c）>0，求实数a的取值范围.　　分析本题若从正面直接解答，则需要对抛物线与x轴的交点位置分不同情况进行讨论，如此下去，陷入重重包围.正难则反，如果在[

6、-1，1]上函数f（x）≤0恒成立，那么考虑到函数f（x）的图像开口向上，此时就只有一种情况，从而避免了讨论.　　解根据题意，若在[-1，1]上函数f（x）≤0恒成立，显然函数f（x）的图像开口向上，则有f（-1）≤0，f（1）≤0，即-2a2+a+1≤0，-2a2-3a+9≤0，解得a≥或a≤-3.　　因此，满足题意的实数a的取值范围是-3　　例4已知双曲线经过点P（-7，-6）和点Q（2，-3），且双曲线的焦点在坐标轴上，求双曲线的标准方程.　　分析在与圆锥曲线有关的题目中，经常会有已知曲线过某点求曲线方程

7、的问题.在未明确焦点位置的情况下，巧设方程可以避免对焦点位置的讨论，如双曲线的方程可以设为mx2+ny2=1（mn0，n>0），抛物线的方程可以设为y2=2mx或x2=2my（m≠0），同时要注意条件限制.　　解设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mn<0）.　　由点P（-7，-6）和点Q（2，-3）在双曲线上，可得（-7）2m+（-6）2n=1，（2）2m+（-3）2n=1，解得m=，n=-.4　　所以，所求双曲线的标准方程为-=1.　　例5已知关于x的方程（x2-1）2-

8、x2-1

9、+k=0.　　①是否存在

10、实数k，使得方程恰有2个不同的根？　　②是否存在实数k，使得方程恰有4个不同的根？　　③是否存在实数k，使得方程恰有5个不同的根？　　④是否存在实数k，使得方程恰有8个不同的根？　　分析本题如果采用直接去掉方程中的绝对值符号的方法，或者换元后求出方程的判别式的方法，在解答过程中都需要进行分类讨论.如果借助图形，就可以直观地看出方程的根的情况.　　解令t=

11、x2-1

12、，则有k=-t2+t（t≥0）.分别画出这两个函数的图像如图1和图2所示.　　①由图2可知，当k1.由图1可知，当t>1时对应的x有2个不同的值.　

13、　所以存在实数k，使得方程恰有2个不同的根.　　②由图2可知，当k=时，t=.由图1可知，t=对应的x有4个不同的值.　　所以存在实数k，使得方程恰有4个不同的根.　　③由图2可知，当k=0时，t=0或t=1.由图1可知，t=0对应的x有2个不同的值，t=1对应的x有3个不同的值.　　所以存在实数k，使得方程恰有5个不同的根.　　④由图2可知，当0