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《高中数学第一章立体几何初步1_2_3_2直线与平面垂直课件苏教版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.线面垂直的定义(1)定义:如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线a与平面α互相垂直,记作a⊥α.直线a叫做平面α的垂线,平面α叫做直线a的垂面,垂线和平面的交点叫做垂足.(2)惟一性定理:过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)点面距、线面距:从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离;一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.交流1(1)如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直吗?(2)若l∥α
2、,则直线l到α的距离就是l上任意一点到平面α的距离.这种说法对吗?为什么?答案：(1)不一定.如果平面内的那无数条直线都互相平行,那么直线与平面的位置关系可能是斜交、垂直、平行、在平面内.(2)正确.因为直线l上各点到平面α的距离都相等.2.线面垂直的判定定理及性质定理(1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.用符号表示为若a⊥m,a⊥n,m∩n=A,m⊂α,n⊂α,则a⊥α.(2)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.用符号表示为a⊥α,b⊥α,则a∥b.交流2在直线与平面垂直的判定定理中,若去掉m∩
3、n=A,结论还成立吗?答案：不一定.如图正方体中m,n⊂α,l⊥m,l⊥n,但l∥α,故定理中的“两条相交直线”是不可缺少的条件.3.直线与平面所成的角线面角:一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角为直角;一条直线与平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.交流3平面的一条斜线与平面所成的角的范围是什么?任意一条直线与平面所成的角的范围呢?答案：
4、平面的一条斜线与平面所成的角θ的范围是0°<θ<90°;任意一条直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.典例导学即时检测一二三一、线面垂直的判定定理及应用如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.(导学号51800031)(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线
5、与BD垂直,可利用(1)的结论.典例导学即时检测一二三证明：(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD,因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.典例导学即时检测一二三1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,现在沿DE,DF及EF把△ADE,△CDF,△BEF折起,使A,B,C三点重合于点P,则DP⊥平面.解析：∵A,B,C重合于一点P,且
6、AD⊥AE,DC⊥CF,∴PD⊥PE,DP⊥PF(将A,C换成P).∴DP⊥平面PEF.答案：PEF典例导学即时检测一二三2.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.求证:AN⊥平面PBM.证明：设圆O所在平面为α,已知PA⊥α,且BM⊂α,∴PA⊥BM.又∵AB为☉O的直径,点M为圆周上一点,∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.而AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN.又PM⊥AN,PM∩BM=M,∴AN⊥平面PBM.典例导学即时检测一二三判定直线与平面垂直的方法:应用直线与平面垂直的判定定理是证明直线与
7、平面垂直的主要方法.如果在一个问题的条件中,出现较多的线线垂直或线面垂直,那么证线面垂直常会选择直线与平面垂直的判定定理,关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直.典例导学即时检测一二三二、线面垂直性质定理的应用如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.(导学号51800032)求证:EF∥BD1.思路分析：题目条件中给出了线线垂直,通过转化可证得线面垂直,要证EF∥BD1,只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可,由条件可知这里当然选择平面AB1C.典例导学即时检测一二三证明
