空间向量与立体几何计算

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1、空间向量与立体几何计算　　【摘要】高中数学教学过程中，立体几何是数学学习过程中非常重要的内容，在其相关题目的求解过程中，尤其是立体几何计算题对于学生各方面的逻辑思维能力及解题能力具有较高的要求，而空间向量是立体几何计算过程中非常重要的工具，本文就结合立体几何计算过程中的典型例题，对空间向量与例题几何的计算进行简单分析。　　【关键词】空间向量立体几何计算　　【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674-4810（2014）14-0152-02　　立体几何对于学生的数学基础及解题能力具有较高的要求，在实际的计算应用中，空间向量是一种非常有效的解题工具，对于立体几

2、何中垂直关系、角、点面距离等的求解具有非常好的作用，本文结合这几方面的一些典型题目的计算进行简单分析，以期对提升学生在空间向量与立体几何题目中的求解计算能力具有帮助作用。　　一空间向量在立体几何垂直问题中的应用　　立体几何中的垂直问题大多是要应用空间向量的有关知识进行证明，例举一个简单的实例来进行说明，在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是D1B1的中点，要求证明EF垂直于平面B1AC。4　　应用向量法对以上的例题进行求解，首先要能够确定出适当的基底，对于题目中的已知条件及要求目标中的向量应用基底来进行表示，假设，并依据向量数量积的相关运

3、算方法来对题目中的已知条件及要求目标中的有关向量进行有效的运算与变形，具体的运算如下列所示：　　所以得到EF与AB1垂直，同理可得EF与B1C垂直，又因为A1B1∩B1C=B1，所以能够得到EF垂直于平面B1AC。　　由以上例题的求解可知，将空间向量应用于立体几何题目的求解中，解题思路非常地清晰，并且计算起来非常的方便，空间向量法在此类问题的求解过程中具有非常好的求解效果。　　图1图2　　二空间向量在立体几何角度计算中的应用　　角度的计算是立体几何中非常常见的题目，而这类题目的求解，对于学生的逻辑思维及空间想象力具有较高的要求，尤其是在一些面面角、线面角、线线角的求解过程

4、中，具有较大的难度，而应用向量法进行求解，能够有效地简化计算步骤，减少计算量，对于立体几何相关夹角的快速计算具有积极的作用，下面就例举一个简单的题目来进行分析。　　例：正方体ABCD-A1B1C1D1如图2所示，已知图中的AB=AD=1，DD1=2，要求求解A1B与AD1的夹角的余弦值；AC1与平面ABCD之间的夹角的余弦值；以及平面A1BCD1与平面ABCD的夹角之间的余弦值。　　在应用向量法进行题目的求解的过程中，首先要以D作为原点，建立其有效的空间直角坐标系，其中坐标系中的x、y、z轴分别是DA、DC与DD1，如图3所示。4　　由题目中的已知条件，能够得到各点的坐标

5、值，其中A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0，2）、B1（1，1，2）、C1（0，1，2）、D1（0，0，2）。由于，=（0，1，-2），=（-1，0，2），由此可见，AD1与A1B之间的夹角的余弦值是cos〈AD1，A1B〉，　　带入相关的计算公式，得到其值为。在进行AC1与平面　　ABCD之间的夹角值的计算时，=（-1，1，2），得到平面ABCD的一个法向量为DD1，并且=（0，0，2），假设AC1与平面ABCD之间的夹角可以用θ表示，所以计算的过程中，sinθ=

6、cos〈AC1，DD1〉

7、，带入相关的数值进行　　计算，

8、计算得到其值为，计算平面ABCD与平面A1B1C1D1　　之间的夹角的余弦值时，假设平面A1BCD1的一个法向量可以表示为，并设=（x，y，z），所以能够得到，因为=（1，0，0），=（0，-1，2）所以得到x=0，-y+2z=0，如果令z=1，则能够得到=（0，2，1），由上文中的分析可知，是平面ABCD的法向量，并且=（0，0，2），所以能够计算得到平　　面ABCD与平面A1B1C1D1之间的夹角的余弦值为。　　图3图4　　三空间向量在立体几何点线距离及点面距离计算中的应用　　空间向量在立体几何中的有关距离的求解中也具有非常重要的作用，下面举一个简单的例题来进行说明，

9、四棱锥P-ABCD如图4所示，其中该四棱锥的底面是一个边长值是2的正方形，并且PD与底面ABCD是垂直的关系，已知PD的值为2，M是AB的中点，N是BC的中点，要求求解点D到PM直线的距离。4　　应用向量法对该题目进行求解，首先要建立其相关的空间坐标系，本次求解过程中，空间直角坐标系的建立，将D作为原点，x轴、y轴、z轴分别是DA、DC以及DP，根据题目中的已知条件以及所建立的空间直角坐标系，能够得到各点的坐标值分别为：N（1，2，0）、M（2，1，0）、P（0，0，2）、D（0，0，0），=（0，0，2），=（2，1，-2）