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1、立体几何空间向量的计算【知识梳理】空间中任意两个向量必共面.空间中两向量的加减、数量积、数与向量积的运算及运算律与平面向量完全一样.共面向量定理和空间向量分解定理由“二维”扩充到“三维”.1.向量的有关概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、相等（反）的向量、共线（平行）向量、共面向量、向量的夹角、向量的线性表示、法向量、方向向量.2．向量的运算及几何表示：（1）加法：___________；（2）减法：______________；（3）数乘向量：（4）向量的数量积：①定义：；②，用于求向量的夹
2、角；③，用于求距离；④，用于证明两个向量垂直.3．重要定理：（1）共线向量定理：∥存在实数使__________；（2）共面向量定理：向量与两不共线向量、共面存在实数对x、y，使________；推论：若O、A、B不共线，.则P、A、B共线_______________.（3）空间向量基本定理：若、、不共面，则存在唯一的x,y,z,使=_________.推论：若O、A、B、C不共面，.则P、A、B、C共面_____________.4．空间向量的坐标运算：，则（1）；_____________；
3、；（2）（3）模长公式：；（4）夹角公式:；（5）若,则______________________________；中点的坐标是________________；三角形ABC的重心G的坐标是___________________.5.求平面法向量的方法：设是平面的一个法向量，AB、CD是平面内的两条相交直线，则,由此求出一个法向量.【经典例题】例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
4、（1）；（2）；（3）+.练习：已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）（2）（3）例2、已知点（1）点关于平面的对称点为_____________________（2）点关于平面的对称点为_____________________（3）点关于平面的对称点为_____________________（4）点关于轴的对称点为_____________________（5）点关于轴的对称点为_____________________（6）点关于轴的对称点为__
5、___________________（1）点关于原点的对称点为____________________例3、设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？例4、（1）若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则=_____________.（2）已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是_____________（写出一个即
6、可）例5、如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值.【课后作业】1、在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．32、已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与一定共面的是（）3、已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（）A．B．-6C．-6,D．6,-4、已知＝（2，－1，3），＝
7、（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．5、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56、若A，B，C，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7、在空间直角坐标系O中,点P(2,3,4)在平面内的射影的坐标为____;点P(2,3,4)关于平面的对称点的坐标为_________;8、已知点是的重心，是空间中任一点，若，则
8、的值为__________.9、已知向量，在方向上的射影是____________.10、已知力=(1,2,3)，＝(-2,3,-1)，(3,-4,5)，若，，共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，则合力作的功为．立体几何空间向量的应用【知识梳理】1、四点共面的证明：M、A、B、P四点共面的充要条件是2、直线的方向向量是，平面的法向量是平面内不共线向量，①//________；//_______________________；//_______
