高中数学 第三章 数系的扩充与复数本章整合 新人教b版选修

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1、高中数学第三章数系的扩充与复数本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一　复数的概念及几何意义复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题．【例1】设复数z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i.

2、试求当实数m取何值时：(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点在直线x＋y＝0上；(4)

3、z

4、＝0；(5)＝－3＋i.解：z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i.①因为z是实数，所以m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.②因为z是纯虚数，所以解得m＝－1；③由于z对应的点在直线x＋y＝0上，所以(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)＝0，解得m＝0或m＝3.④因为

5、z

6、＝0，所以z＝0，因此解得m＝3.⑤因为＝－3＋i，所以z＝－3－i，因此解得m＝2.【例2】若△ABC中，A，B两顶点对应的复数分别为1＋i与3－i，且△A

7、BC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，求C点对应的复数．解：设C点对应的复数为z＝x＋yi(x，y∈R)．由于△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以

8、

9、＝

10、

11、，⊥，因此有解得或即C点对应的复数是1－i或3＋i.专题二　复数的运算历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．要熟练掌握除法运算的“分母实数化”法则，将除法运算转化为乘法运算进行．【例3】计算：(1)；(2)＋2014.解：(1)＝＝－＝2＝－

12、1＋i.(2)＋2014＝＋＝－＝i－＝i－i＝0.【例4】已知复数z1＝，z2＝a－3i(a∈R)．(1)若a＝2，求z1·；(2)若z＝是纯虚数，求a的值．解：由于z1＝＝＝＝＝1－3i.(1)当a＝2时，z2＝2－3i，∴z1·＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i－6i＋9＝11－3i.(2)若z＝＝＝＝为纯虚数，则应满足解得a＝－9.即a的值为－9.专题三　转化与化归思想在解决有关复数的问题中代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程；反过来，有时将实数、几何问题、三角问题化归为复数问题，也可使

13、问题迎刃而解．【例5】已知

14、z－4

15、＝4且z＋∈R，则复数z＝________.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由已知，得解得或或或因此z＝0(舍去)或z＝8或z＝2±2i.答案：8或2±2i【例6】设关于x的方程x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意的θ≠2kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．解：(1)设实数根是a，则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.∵a，tanθ∈R，∴a2－atanθ－2＝0且a＋1＝0，∴a＝－1且tanθ＝1，又∵θ∈，∴θ＝.(2)设方程存

16、在纯虚数根为bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，即此方程组无实数解，∴对任意的θ≠2kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．专题四　数形结合思想(1)复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义，复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题；(2)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内的一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意

17、z

18、，

19、z－a

20、的几何意义——距离

21、；(3)复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知

22、z－z1

23、表示复平面上两点Z，Z1间的距离(复数z，z1对应的点分别为Z，Z1)；(4)复数形式的基本轨迹：①

24、z－z1

25、＝r表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆，单位圆

26、z

27、＝1；②

28、z－z1

29、＝

30、z－z2

31、表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．【例7】若z∈C，且

32、z＋2－2i

33、＝1，则

34、z－2－2i

35、的最小值是(　　)A．2B．