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1、无网格数值求解学习报告一、无网格法的概念当前数值模拟欧拉方程和N-S方程的空间离散方法主要有三种:有限差分法、有限体积法和有限元法。有限差分法的主要思想是将微分型控制方程应用到每个网格节点上，对某个节点的导数值用相关网格节点值进行差分求得。再利用各种时间推进格式进行迭代求得流场的稳定解。有限体积法的主要思想是把流体力学的积分型控制方程应用到每一个由网格剖分得到的控制体微元上，从而把积分方程的求解转化为代数方程或常微分方程的求解，再利用各种时间推进格式进行迭代，最后在每个控制体微元上得到流场的稳定解。有限元方法的数值基础是变
2、分原理和加权余量法，其主要思想是在每个网格单元上选择若干合适的点作为解函数的插值节点，方程的近似解由各网格单元的近似函数逼近，而网格中的近似函数又由单元基函数的线性组合得到。以上三种空间离散方法都是在网格的基础上进行的。无网格方法是一种只需要节点信息而不需将节点连接成网格单元的数值解法，这是无网格算法区别于网格算法之处。因此，无网格算法不能直接沿用网格算法中的有限差分和有限体积法等的离散格式。无网格算法的基本思想是在求解域内布置一系列的离散的点称之为“节点”，然后采用-•种形函数（或称为核函数）近似拟合曲线，要求每个小域（
3、称为“点云”）内节点的个数多于建立的方程的数目，在该点云上建立矛盾方程组，通过解矛盾方程组求得变量的梯度，进而可以求得问题的解。伽辽金法配点法対部彼得罗夫.ftllt金法加权最小二乘法边界枳分方程MLSDENI1171;l：l(4FPM104*HLSC肿；MPCM1'19'12f,^：MLPG^103*101PGDEM11221;WLSMlllbllz231；LSX1Ml110.U31ENMUM1叫血小円];LB1E[1O7<1081;HBNM(,*71—SPH阿9311H咳近似KKPM[,14973】他人[g・】呵；HC
4、M[I27'1281单侍分解PUM1151:GFEM^S；XFEM^2223咧hi>MeshlessCloud旳FiniteSphPi^,v，'13,1径向吐阳数WencllaiKH1^E詁叫Frankei，34];Zhangl33JPII【Z：RPIM,321RPCM"叫PICM网LRFgWiTai』㈣BRPDlWlSibeonffifftNEM除鋤PGNEI，40jItSibsontdiNNGM15*1NNPC；(1411KrigingMiLain1431;Gul41]—G心「丁匚i千QNURBSShnw"®0典型无
5、网格法无网格法大致可分成两类：一类是以Lagrange方法为基础的粒子法(Particlemethod),如光滑粒子流体动力学(Smoothedparticlehydrodynamics,简称SPH)法，和在其基础上发展的运动粒子半隐式(Moving—particlesemi—implicit,简称MPS)法等；另一类是以Euler方法为基础的无格子法(Gridlessmethods),如无格子Euler/N—S算法(GridlessEulcr/Navicr-Stokessolutionalgorithm)和无单元Galc
6、rkin法(ElcmcntfreeGalerkin,简称EFG)等。伽辽金型无网格法：等效积分弱形式(虚位移原理)dll(u)=/J9丸心巴严心。Kd=PMLS近似：u(x)=N(x)d'NHclTv{特点：计算量大、精度高，稳定性好、需要背景网格进行积分不易施加本质边界条件处理。、系数矩阵对称、背景网格积分:背景网格加权余量法：线弹性力学的控制方程平衡方程bij,j+fi=0i=1,2,3应变-位移关系分=*(%•+%)J=1,2,3应力-应变关系6j=边界条件<7..n-T.onSuJ1°叫=%onS“加权余量法不耍求
7、余量在各丿占均为零，而耍求余量的加权积分为零平均意义上•Rv-dV+fRy-dS=0满足方程：Jv等效积分形式加权余量法的物理意义：选取合适的待定参数强迫余量在某种意义下为零N近似解:u.=工如汀i=1,2,31= /—试探函数(trialfunction)Q〃一待定系数无网格方法可以方便地利用坐标点计算模拟复杂形状流场计算，但不足之处是在高雷诺数流动时提高数值计算精度较困难。无网格方法中比较常见的还有径向基函数方法(RacliousBasisFunction),主要使用某径向基函数(如(MQ)f(r)=r^5)的组合，
8、来逼近原函数。吴忠敏院士在这方面有比较突出的工作。以上方法中，无网格伽辽金法成为目前影响最大,应用最广的无网格计算方法，现有的LS-dyna,Abaqus,Radioss等商业软件都加入了该方法的计算模块。二、无网格法应用tic悬臂梁在自由端受突加载荷作用后的动力学问题%计时开始clear;%清屏，将要
