9.直接证明与间接证明

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn9.2直接证明与间接证明【知识网络】1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点；2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点；3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。【典型例题】例1：（1）已知，则在①；②；③；④这四个式子中，恒成立的个数是（）A1个B2个C3个D4个答案：C。解析：①③④恒成立。（2）利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（）ABCD答案：C。（3）命题“

2、关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是（）A、无解B、两解C、至少两解D、无解或至少两解答案：D。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。（4）定义运算，例如，，则函数的最大值为．答案：。（5）若，，且恒成立，则的最大值是。答案：4。解析：因，，所以同解于又所以。例2：设，求证：．答案：证明：因为，又，所以=.也可以用分析法证明。例3：若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而=∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。例4：是否存在常数是等式对一切成立？证明你的结论。答案：存在，

3、数学归纳法证明略.【课内练习】1．已知均大于1，且，则下列各式中，一定正确的是（）ABCD答案：B。解析：，利用基本不等式证得。2．记凸边形的内角和为，则等于（）ABCD答案：B。3．设M是，其中m、n、p分别是的最小值是（）A．8B．9C．16D．18答案：：D。解析：由已知得，。4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨．答案：20。解析：某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,一年的总运

4、费与总存储费用之和为万元,≥160,当即20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.5．已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：①当时，函数值为非负实数；②对于任意的在三个函数中，属于集合M的是。答案：。解析：根据条件证得。6．用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是____。答案：。7．给出下列四个命题：①若②若③若④的最小值为9.其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）答案：②④。8．用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至

5、少有n个”的否定是“最多有n-1个”。9．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有，即。∴成立，命题得证。10．已知函数，满足条件：①；②；③；④当时，有.(1)求，的值；(2)由，，的值，猜想的解析式；(3)证明你猜想的的解析式的正确性.答案：(1)解：∵，又，∴.又∵，且∴.(2)解：由，，猜想(3)证明：用数学归纳法证明：①当时，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即1°若为正奇数，则为正偶数，为正整数，2°若为正偶数，则为

6、正整数，，又，且所以即当时，猜想也正确由①，②可知，成立.【作业本】A组1．若,则下列结论不正确的是()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：D。解析：取代入可得。2．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=8时该命题不成立D．当n=8时该命题成立答案：A。解析：若n=6成立，则根据假设知n=7成立，与已知矛盾。3．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2B．4C．6D．8答案：B。解析：左边=。4．用一根长为

7、12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为　　　　　　　　　　.答案：3m与1.5m。解析：设长为xm则宽为，当x=3时，面积S有最大值。5．若函数是偶函数，则，（a∈R）的大小关系是　　　　　　.答案：≥。解析：由已知得m=0，从而在上递减，又，。6．已知二次函数,（1）若且,证明:的图像与x轴有两个相异交点;（2）证明:若对x1,x2,且x1

8、:可令.证明.(3)略解:假设存在符合条件的,则由已知得且.由(1)知,故有.,.令,可推得的对称轴.故在上有零点.即方程必有一根.进而推得当时,7．