一种基于拟newton法解非线性方程组的数值算法

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1、一种基于拟Newton法解非线性方程组的数值算法（吴志华中国计量学院信息工程学院310018）关键字：非线性方程组牛顿法1、理论背景我们先考虑线性方程，线性方程组的解便不难得出了。与线性方程相比，非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上，都要复杂得多。对于一般的非线性方程=计算方程的根既无一定章程可寻也无直接法可言。例如，求解高次方程组7F_兀3+兀_15=0的根，求解含有指数和正弦函数的超越方程K-cos（空）=0的零点。解非线性方程或方程组也是计算方法中的一个主题。在解方程方面，牛顿（I・Newton）提出了方程求才艮的一种迭代方法，被后

2、人称为牛顿算法。三百年来，人们一直用牛顿算法,改善牛顿算法，不断推广算法的应用范围。牛顿算法，可以说是数值计算方面的最有影响的计算方法。对于方程式/（兀）=°,如果/（兀）是线性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程式/（X）逐步归结为某种线性方程来求解。解非线性方程组只是非线性方程的一种延伸和扩展。2.主要理论考虑方程组了］(几・・・£)=0,九("・・・£)=°・其中/],・・•，九均为3,…兀J多元函数。若用向量记号记兀=3,…兀Jw/r,F=(几・・・,£)'，（°就可写成F(x)=0.(2)当，

3、且加=1，・・・,）中至少有一•个是自变量兀（z=l，・・・,/l）的非线性函数时，则称方程组⑴为非线性方程组。非线性方程组求根问题是前面介绍的方程即⑺=1）求根的直接推广，实际上只要把单变量函数/（兀）看成向量函数F（x）则可将单变量方程求根方法推广到方程组（2）。若已给出方程组（2）的一个近似根+"=（#,•••,#）『，将函数尸（对的分量/•（兀）（i=1,・・・,兀）在兀伙）用多元函数泰勒展开，并取其线性部分,则可表示为F（x）«F（x⑷）+⑷）（x—兀⑴）.令上式右端为零，得到线性方程组F'（x⑷）（x_x⑷）=_F（兀伙））,其中dx

4、n茁（兀）dx{茁（兀）dx2dx}（4）称为F（Q为雅可比（Jacobi）矩阵。求解线性方程组卩）记解为兀"⑷，则得卅+1）=卅）_F（*））TF（卅））伙=0丄…）.（5）这就是解非线性方程组（2）的牛顿法。3、算法牛顿法主要思想是用卅⑷=X⑻-F'（x⑷）"F（x⑷）伙=0,1,...）.进行迭代。因此首先需要算出FOO的雅可比矩阵FQ）,再求过FQ）求出它的逆当它达到某个精度（X-幻时即停止迭代。具体算法如下:1.首先宏定义方程组尸（兀），确定步长％-和精度（x-k）；2.求FS）的雅可比矩阵F'（x）；可用dxjXj+X—，・・・，Xn

5、）—£（兀［，…，X-，…，XfJ求出雅可比矩阵;1.求雅可比矩阵F3的逆F'⑴'；q.・・0、•••••••••将F（兀）右乘一个单位矩阵1°…1丿，通过单位矩阵变换实现求F©）的逆，用指针来存贮。2.雅可比矩阵与其逆F'（x）

6、的相乘；3.用Q）来迭代；4.当精度x-K大于x_k时，重复执行2——5步，直到精度小于或等于x-k停止迭代，x_kj就是最后的迭代结果。其中X_kl=J（铲）-护铲）—胡）24、代码#include#include#include$h>\#includeVconio$

7、.h>#definef0(xl,x2)(xl+2*x2-3)#definefl(xl,x2)(2*xl*xl+x2*x2-5)#definex_0.000001#definematrixNum2inty=0;voidmain()inti,j,n;doublep,*x;double*b;double*matrixF;〃矩阵Fdouble*matrixF_;//矩阵F的雅可比矩阵的逆b=(double*)malloc(matrixNum):matrixF=(double*)malloc(matrixNum);matrixF_=(double*)mal

8、loc(matrixNum*matrixNum);cout〈<"请输入初值:";for(i=0;i

9、(b+i)；cout«*(x+i)«/z”;}cout«endl;for(i=0;i