非线性方程组拟牛顿法中线性搜索的一种改进

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第23卷第4期湖南大学学报Vo1．23．No．41996年8月JOURNALOFHUNANUNIVERSITYAug．1996；[f一，非线性方程组拟牛顿法中线性搜索的一种改进‘圭董莲．堡-0L{‘7(湖南大学应用散学系，中国长抄，410082)摘要改进7Griewank(1986),~出的关于求解非线性方程组的一种线·陛搜索方式．在理论上保证1线性搜索的实现，使得算法是适定的．而且，在改进的线性搜索条件下，Broyden算法仍具有全局收敛性和局部超线性收鼬·睦．关键词垡些查堡璺，塑±塑壹，垫：些苎宣，全生些熟些．分类号O242．7Modifi

2、edLineSearchTechniqueofQuasi-NewtonMethodforNonlinearEquationsLiDonghuiZhangZhongzhi(DeptoIAppliedMathematics，HunanUuiv+410082，Changsha，PRChina)AbstractA1inesearchtechniquefornonlinearequationswhichisamodificationofthes。called‘derivativefreelinesearch”givenbyGriewank(1986)isproposed．Bymeansofthiste

3、chnique，quasi—Newtonmethodiswe11defined．Undersuitablecondi—tions，theglobalandsuperlinearconvergenceofBroyden—likemethodsisproved．Keywordsnonlinearequations，quasi-Newtonmethods，linesearch，globa1conver-gence1引言拟牛顿法是求解非线性方程组的一种行之有效的算法．关于该类算法的理论研究已有了许多好的结果，在算法的局部和半局收敛性方面的研究已趋完善[．然而，在全局收敛性方面的研究工作尚不多见．Gr

4、iewank(1986)提出了一种“无导数”线性搜索，由此建立了阻尼拟牛顿法，并获得Broyden算法的全局收敛性其搜索过程如下：对于维非线}生方程组F()一0，∈R，(1)罄嘉吉霸翥嚣拿赛曼作者李董辉．男，34岁，副教授．}6日南省计算专科拉维普资讯http://www.cqvip.com{朝南大学学报设F连续可微，且FCx)一致非奇异．定义¨]i下==_麓i㈤其中，P分别为第次迭代点和搜索方向．则步长按如下方式确定：对某个e∈(O，1／6)，’一()≥1／2+e，(3)搜索过程可由回代实现0】．由(^)的定义不难看出，若F(x)F()Pi≠0，则总可以找到充分小的，使式(3)成立．然而，

5、若F(x)F()=O，则理论上不能保证满足式(3)的^的存在性．为了克服上述线性搜索的困难，保证算法的适定性，本文将对上述线性搜索方式加以改进．2线性搜索的改进为了克服文献E33中线性搜索的困难，我们对i做适当改进．为此，取一正数叙列feI}，使E；eI0充分小时，式(6)总是成立的．从而，我们给出如下线性搜索过程：算法1(线性搜索)取P∈(0，1)，令越=，i=0，l'．_·．对i=0，l，⋯依次检验04。)≥1／2+e．记i。为

6、满足条件的最小非负整数．取=A．利用上述线性搜索，我们建立相应的拟牛顿法：算法2给定初始点。∈R，初始矩阵鼠，k=0．1)解如下关于P的线性方程组：且P+F(xD=0，(7)记为解．2)按算法l确定步长^．3)^+1=+．4)修正鼠得B⋯．+l，转2)．在算法2的第4)步中，不同的修正方式对应不同的拟牛顿法．本文只考察常用的类groyden算法，其修正公式如下：‘一⋯一一维普资讯http://www.cqvip.com第4期‘李董辉等：非线性方程组拟牛顿法中线性搜索的一种改进B。+。=B。+·，(8)其中“=z一m，yk=F(瓤+。)一F(xk)，参数的一种适当的取法为：对某个a∈(0，1)

7、，巩满足若非奇异，则B非奇异，且I以一1I≤(9)文献[4]给出了这种的一个具体取法．在本文的后面部分，我们记F(x·)，F(x)，F(以)等为FJ，FⅢ，等．引理1设F连续可微，F)一致非奇异，{瓤}由算法2产生，则川Fl有界，且∑Il以+1一以I1。