第五公设与非欧几何

《第五公设与非欧几何》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、实用标准文案第五公设与非欧几何　　第五公设指欧几里得几何《原本》中的第五公设，其内容为：在同一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必交于该侧的一点．图1　　1、欧几里得第五公设的试证　　古代数学家很早就注意到欧几里得几何《原本》有逻辑的缺点，他们经过两千年的努力来消除它．首先是针对公理系统，一方面是增加或改换公理，另一方面是试证第五公设．　　第五公设的试证在几何史上占极重要的地位．因试证第五公设而发现了非欧几何，以致引起我们对几何学观点的根本改变．　　欧几里得以后的两千年间，几乎所有的大数学家都曾试证过第五公

2、设．原因是：它看起来较其他公设性质复杂，而且在《原本》中应用很迟，到第29个命题才第一次应用．因此人们怀疑它是否可做为定理来证明，即只根据其它公理和《原本》中前28个命题来证明．谈到某一命题的数学证明，就是说要根据采用的公理系统纯逻辑地导出它，只能用公理或用由公理已证明的定理做根据．但如前所述，欧几里得没有完善的公理系统，因此这些试证者不能充分明显地提出问题．实际上，第五公设的试证就是要使它成为绝对几何的逻辑推论．本文后面将证明：这是不可能的．因此两千年对第五公设的试证都失败了，这些证明都或明或暗地引用了和第五公设等价的命题，即导入新的假设（公理）以替换

3、第五公设，这类议论不能称为第五公设的证明．直到十九世纪末才有几何学近代公理法的出现，在这以前，如何辨别几何学中证明的合理性，并无清楚的准绳．因此在一定程度上，第五公设的每个试证者会自以为他的假设是合理的，后来才知道所有这些证明都是站不住脚的．这使许多数学家怀疑：（从绝对几何）证明第五公设是可能的吗？这怀疑引导到积极的结果——非欧几何的发现．　　2、非欧几何的产生精彩文档实用标准文案　　任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作．这种数学积累的发展特别适用于非欧几何．我们已介绍非欧几何的先驱者萨开里、伦倍特的工作，还有须外卡尔特（F.K.S

4、chweikart，1780—1859年）研究他称为的星空几何，他外甥托里努斯（F.A.Taurinus，1794—1874年）继续研究星空几何，还有其他人，可称非欧几何的先驱者．至于说到非欧几何的创造者，那就要说到高斯（CarlFriedrichGauss，1777—1855年，德国人），约翰·鲍耶（JohannBolyai1802－1860年，匈牙利人）和罗巴切夫斯基（nikolaiIvanovichLobatchevsky，1793—1856年，俄国人）了．　　被同时代人称为“数学家之王”的高斯，一生中从未出版过非欧几何的著作．在他死后，人们从他和

5、一些数学家的通信以及他的遗稿中，才知道他由试证第五公设到发现新几何．他最初称为反欧几何，后称星空几何，最后称非欧几何．1824年他给托里努斯的信上说：“三角形的三角之和小于180°，这假定导引到特殊的、与我们的几何完全相异的几何．这几何是完全一贯的，并且我发现它本身，结果完全令人满意．除了某一常数的值不能先天地予以表示定义而外，在这几何里我能解决任何课题．我们给予这常数值愈大，则愈接近于欧几里得几何，而且它的无穷大值会使双方系统合而为一．”为了检验这两种几何应用的可能性，高斯测量了三个山峰构成的三角形（三边为69，85与197公里）的内角之和．由于实验误

6、差相对太大，这实验没有证明任何结论．高斯为了“害怕引起愚人的喊声”而终生未出版他的非欧几何研究著作．　　约翰·鲍耶是数学家伏尔夫刚·鲍耶（WolfgangFarkasBolyai1775—1856年，匈牙利人）之子．他没有听从他父亲阻止他试证第五公设的劝告，因而发现了新几何．1823年（当时他21岁）他写信给父亲说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，……，我已经从乌有创造了整个世界”．1832年出版了约翰·鲍耶的著作，以附录形式附在他父亲的一本书后发表．“附录”的拉丁文是appendix；所以约翰·鲍耶的工作在数学文献上获得了“亚编原克斯”的称呼

7、，它的真名很长：《叙述着关于一个和欧几里得第十一公理（注：即第五公设）的真伪无关的空间的绝对真实性的学说……》．　　伏尔夫刚·鲍耶把这附录送给知友高斯评阅．高斯回信说：他不能称赞约翰的工作，“称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你儿子所采用的方法和他所达到的一些结果几乎全部和我的一部分在30～35年前已开始的个人沉思相符合的缘故．我真是被这些所恐骇到顶点了．关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿发表的．大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度；我仅发觉少数人听了我和他们谈这件事，觉得有兴趣……．我的目标在于把它

8、统写下来，免得和我一同湮没．使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且