关于某欧氏几何地第5公设及非欧几何

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1、实用标准文案关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。比较了三种几何的主要特征及适用范围。关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩

2、修订本的版本。4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。6、中国最早的汉译本是

3、1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（MatteoRicci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。精彩文档实用标准文案二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合

4、乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。所以《原本》是一部在定义，公设和公理的基础上，按演绎推理方法建立起来的命题系统。《原本》第1卷有首先给出了23个定义，如：点是没有部分的；线是没有宽度的长度，……等等。此外，还有平面，直角，垂直……等定义。定义之后是5个公设：1）从任一点到任一别的点（可）引一直线；2）有限直线（可）循直线延长；3）以任一点为中心，任意长为半径（可）做一圆；4）开直角都相等；5）若一直线与另外两直线相交，且在同侧二内角（同旁内角）之和小于二直角。则这两直线无限延长后相交于该侧的

5、一点。五个定理：1）等于同一量的量彼此相等；2）等量加等量其和相等；3）等量减等量其差相等；4）互相重合的量彼此相等；5）整体大于部分。精彩文档实用标准文案按照亚里斯多德关于公理和公设的区别，前者是适用于一切科学的真理，后者仅适用于几何学，今天统称公理。显见，五个公设中，前四个人们认为简单明了，符合亚里斯多德公理“自明性”的要求。唯独第5公设，即现在的“平行公理”，不公文字罗嗦，而且所肯定的事实也不明显。比如，当两条直线相交于非常遥远的地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不具有直观的明显性。所以自欧几里得以来，人们就认为这是《原本》的一个污点。比如，175

6、9年，法国数学家达朗贝尔（J０L·R·D`Alembert，1717-1783）曾说“第5公设是“几何原本中的家丑”。不仅如此，而且欧几里得本人似乎对这一公设也不太满意《原本》第1卷共48个命题，其中前28个命题的证明欧氏都回避用第5公设，只有在第29个题的证明中，才不得不用了一次，而且这是《原本》用第5公设的唯一的一次。三、对第5公设的研究非欧几何的历史，就是从努力消除对欧氏平行公理的怀疑开始的。从希腊时代到19世纪间有两种研究途径：一种是用更为自明的命题来代替平行公理；另一种是试图从欧氏其他几个公理推导出平行公理来，如果办到这一点，平行公理将成为定理，它也就

7、无可怀疑了。第一种途径：历史上曾被用作代替“平行公理”的等价“公理”有很多，例如：1）平面上不相交的二直线不能彼此远离（普罗克鲁斯Proclus,希腊，公元5世纪）；2）存在着两个相似而不相等的三角形（瓦里斯Wallis，英，1663年）；精彩文档实用标准文案3）过已知直线外一点，只能作一条直线平行于已知直线（普雷菲尔J,Plagfair,苏格兰，1795年）;4）三角形的内角和等于二直角（法，勒让德，Legendre）.这样的例子我们现在可以无限制地列举下去，但是细究起来，它们的自明性并不比第5公设更好。最好的替代公理要算公理3，所以近代常将第5公设称为平行公

8、理，它被中学课本所采用。