例谈中考中的全等

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1、例谈中考中的全等　　全等三角形是初中几何的基础，是中考命题的热点之一，全等三角形是两个三角形之间最简单、最常见的关系.它不仅是后面学习相似三角形、平行四边形、圆等知识的基础，并且是证明线段相等、角相等常用的方法，也是证明两直线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的性质及判定方法，并且能灵活应用.由于同学们刚刚接触，故选取近年来中考中出现的最基本的全等三角形的题目，介绍一下全等三角形在中考中的基本考法.　　考点一：全等三角形的性质　　例1（2009?清远）如图1，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1=.　　解：∵△ABC≌△

2、A1B1C1，　　∴∠C1=∠C.　　∵∠A=110°，∠B=40°，　　∴∠C1=∠C=180-110-40=30°.　　例2（2009?海南）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（）.　　A.72°B.60°C.58°D.50°　　解：因为两个三角形全等，∠α为a与c的夹角，所以∠α=50°，故答案选D.5　　【点评】全等三角形的性质有对应边、对应角、周长、面积相等，即所有的对应元素都相等.中考中直接考三角形全等性质的题目一般难度不大，找准对应关系是解题的关键，现阶段的学习以夯实基础为首要任务.　　考点二：全等三角形的判定　　例3（2012?福州）如图3，点E、F

3、在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF.求证：△ABF≌△CDE.　　证明：∵AB∥CD，　　∴∠A=∠C，　　∵AE=CF，　　∴AE+EF=CF+EF，　　∴AF=CE.　　在△ABF与△CDE中，　　AB=CD，∠A=∠CAF=CE，，　　∴△ABF≌△CDE（SAS）.　　例4（2012?南京）如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E，求证△ABC≌△BDE.　　证明：∵BE⊥AC，　　∴∠ABE=∠A=90°，　　∵∠ABE+∠EBD=90°，　　∴∠A=∠EBD.　　在

4、△ABC与△BDE中，5　　∠A=∠EBD，AB=BD，∠ABC=∠BDE，　　∴△ABC≌△BDE（ASA）.　　【点评】中考考全等三角形的证明是基本要求，所以掌握好全等的判定方法是特别重要的一环.对“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”以及“HL”这五种判定方法都要熟练掌握好.对间接条件的处理尤为重要，比如例3的证明用的是“SAS”，其中AF=CE这个条件的获得就需要通过已知条件AE=CF进行转化.例4中∠A=∠EBD的获得是利用同角的余角相等得到的.　　考点三：判定和性质的综合　　例5（2012?北京）已知：如图5，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=C

5、E，AC=CD.求证：BC=ED.　　解：∵AB∥CD，　　∴∠BAC=∠ECD.　　在△ABC≌△ECD中，　　AB=CE，∠BAC=∠ECDAC=CD，，　　∴△ABC≌△ECD（SAS）.　　∴BC=ED.　　例6（2012广州）如图6，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BE=CD.　　解：在△ABE与△ACD中，　　∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，　　∴△ABE≌△ACD（ASA）.　　∴BE=CD.5　　【点评】证相等找全等是这种题型的常规思维，先用全等三角形的判定再用全等三角形的性质是这类题型的常用步骤.全等作为题目的基本组成部分在

6、中考中屡见不鲜，全等与后面同学们要学的图形平移、旋转、翻折等知识是紧密相连的，所以一定要加强全等三角形的学习.　　考点四：全等三角形的应用　　例7（2012?柳州）如图7，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）.　　A.POB.PQ　　C.MOD.MQ　　解：利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等得MN=PQ，本题答案B.　　例8（2010?河南）如图8，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线l上取两点C、D，使BC=CD，再定出l的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是A

7、B的长.请说明理由.　　解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，　　∴∠ABC=∠EDC=90°.　　在△ABC与△EDC中，　　∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，　　∴△ABC≌△EDC（ASA）.　　∴AB=ED，即DE的长就是AB的长.　　【点评】这两道例题介绍中考中全等三角形的应用的考法，利用全等三角形的性质和判定来解决“不可测”的问题.“不可测”5问题是指那些在生活中直接测量不方便或者就是直接测无法测量的一类问题，利用全等三角形的知识解决这类问题只是冰山一角，在初中阶段后面的学习中，还将介绍其他的测量