例谈高考中数列求和问题.doc

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1、例谈高考中的数列求和问题数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.它对于加深巩固中学数学课程的学习,开拓中学生的知识领域都十分有益.数列求和是数列的重要内容之一,通过对它的学习,可以极大的丰富我们的数学知识,提高我们的数学思维能力.同时数列求和问题在高考中占有重要的地位，在此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用等比数、等差数列求和公式求和1.等差数列求和公式：2.等比数列求和公式：例1.（2010福建理数）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时

2、,n等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力.例2.（2010天津理数）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为()（A）或5（B）或5（C）（D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和.　　评注：利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明

3、其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．二、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例3.求证：证明：设…………………………①把①式右边倒转过来得又由可得………………②①+②得∴三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列的通项公式为，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。例4.（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列

4、，且，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。四、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数

5、列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。yxO例5.（2010安徽文数）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间

6、的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3

7、）（4）（5）例6.（2010山东文数）已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.【方法技巧】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意：余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。数列求和问题,一般来说方法灵活多样,它在高考中的重要性也显而易见。本文介绍的几种方法,主要是给出一些解题的思路和方法,我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。