资源描述：
《多元函数的微分(教师用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七章多元函数的微分法及其应用习题7-17求下列各极限：8证明极限：不存在；练习册1填空：1设2设注：记3设4函数5函数此定义域可用平面图形表示为：6函数是间断的。2求极限：即：存在一种方向时，极限不存在，所以…不存在。3证明极限不存在。证明：因为,所以：不存在。4讨论函数的连续性。解：因为随k不同而不同，所以不存在，所以z在的点（即原点）不连续，又z在原点以外均为有定义的初等函数，而初等函数在其定义域内连续，故z在平面上除原点以外的区域连续。第二节.偏导数由偏导数的概念可知，在点处关于的偏导数就是在点的函数值，而就是在点处的函数值.补例已知，求.解如果先求偏导函数，再将代入求比较麻烦，
2、但是若先把函数中的固定在，则有=3.于是.补例：设，求证：证：因:,在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续．（注：上册84页：连续不一定可导）例设，(1)求；(2)讨论在点(0,0)处的连续性解：(1)因为在点(0,0)的邻域内，函数的解析表达式不同，所以需用定义来求.同理可得；但我们易得到不存在，事实上：当沿趋于(0,0)时，当沿趋于(0,0)时，所以极限不存在.从而在点(0,0)处不连续.习题7—215页1设解：或：2求下列函数的偏导数：5设7曲线在点（2，4，5）处的切线与轴正向所成的倾角是多少？解：9
3、设：，求：10验证：（1）满足方程证：；所以……证：满足方程证：类似地：所以练习册1填空：（1）故：（3）2证明函数处连续，但偏导数不存在。证明：因为而在（0，0）点连续，又：所以不存在。3求下列函数的高阶导数：第三节.全微分一元函数中，可微：定义：若在点的全增量可表示为：，即其中无关，只与有关，,则称二元函数在点处可微，并称是在点处的全微分,记作,即.定理1…….我们知道，一元函数在某点可导等价于可微，但多元函数即使各个偏导数都存在时，虽能形式地写出，但它与之差不一定是的高阶无穷小，因此它不一定是函数的全微分。即各个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如函数：在点（0，
4、0）处有：，所以：，如果考虑沿直线趋于（0，0）时，则：这表示时，不是的高阶无穷小，因此函数在点（0，0）的全微分并不存在。即函数在点（0，0）处不可微。用全微分的定义验证函数的可微性，只需检验是否等于零.补例：设讨论在(0,0)的可微性.解：在(0,0)的偏导数，.故所以,所以函数在点(0,0)可微.定理2（充分条件）若在可偏导且偏导数连续，那么在可微．证：（教材21页有证明。这里不证。）类推之，对三元函数，若可微分，则：习题7——320页2求函数时的全微分。解：故时，有：3求下列函数的全微分：；，注：可看作：补充：求函数时的全增量和全微分。解：练习册1填空：，注：可看作：，2求的全微
5、分。解：3设讨论在(0,0)的可微性.解：因为所以处连续。在(0,0)的偏导数，同理.故所以,随k不同而不同。所以在点(0,0)不可微第四节多元复合函数的求导法则25页定理1设处有连续偏导数，则复合函数处可导，且对的全导数为.推广：…，则定理2设函数在点处有偏导数，函数在相应点处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且,.定理3则：；进一步：，则；若则：；要区分求偏导数公式中的符号的意义，以免在使用错误。全微分形式的不变性设函数，都有连续的偏导，则复合函数在点处的全微分仍为事实上，因为：,.故：==即不论是中间变量还是自变量，一阶全微分总具有相同的形式.计算全微分有两种方法——直接求导
6、法,即求出后代入即可，另一种是全微分法，即利用全微分形式的不变性.补例求下列函数的全微分(1)；(2)；解：(1)法一：直接求导法：因为；；对称性；所以法二：全微分法：(2)法一：直接求导：，；法二：习题7——426页2设证：3（1）设具有连续偏导数的函数，求.解：令，则，。解：（3）；解：6求下列函数的（其中具有二阶连续偏导数）7设的所有二阶偏导数连续，而：所以：类似地有（2）成立。补充：设求解：(1)既是中间变量又是自变量，一个自变量，求全导数补充：设，其中为可导函数，验证：解：其中:所以11设，其中具有二阶导数，求：练习册1填空（1）设解：(2)设，则复合关系为，且2设3设：解：4
7、设5设可微，且，验证．证如图．，同理，6设具有二阶连续偏导数，求解：。解：补充：若解：第五节隐函数的求导公式一一个方程的情形若由方程确定了是的函数，则称这种函数为隐函数.定理1设方程确定了是的函数连续及则（2）定理不证，仅直观推导（2）。由所以…。如果的二阶偏导数也都连续，则我们可以对（2）继续求导而得到。定理2设方程确定了，且，连续及，则,,直观推导：由，分别对和求导得：所以…。二方程组的情况定理3设函数，在点的某邻域内有连续导数
