2019版高考数学一轮复习平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件文

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1、第九节　圆锥曲线的综合问题总纲目录考点突破考点二圆锥曲线中的定点、定值问题考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题考点三圆锥曲线中的探索性问题考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题考点突破典例1(2018北京东城期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)与短轴两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q为椭圆C上一点,过原点O且垂直于QF的直线与直线y=2交于点P,求△OPQ的面积S的最小值.解析(1)由题意,得解得a=.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设Q(x0,y0),P(m,2),则+=1.①当m=0

2、时,点P(0,2),Q点坐标为(-,0)或(,0),S=××2=.②当m≠0时,直线OP的方程为y=x,即2x-my=0,直线QF的方程为y=-(x-1).点Q(x0,y0)到直线OP的距离d=,

3、OP

4、= .所以S=·

5、OP

6、·d=×

7、2x0-my0

8、=.又y0=-(x0-1),所以S===×=×=≥1(

9、x0-1

10、=,即x0=0时等号成立,综上,当x0=0时,S取得最小值1.方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以

11、及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、基本不等式方法等进行求解.1-1(2017北京朝阳一模)过点A(1,0)的直线l与椭圆C:+y2=1相交于E,F两点,自E,F分别向直线x=3作垂线,垂足分别为E1,F1.(1)当直线l的斜率为1时,求线段EF的中点坐标;(2)记△AEE1,△AFF1的面积分别为S1,S2.设λ=S1S2,求λ的取值范围.解析(1)依题意,得直线l的方程为y=x-1,由得2x2-3x=0.设E(x1,y1),F(x2,

12、y2),线段EF的中点为M(x0,y0),则x1+x2=,则x0=,y0=x0-1=-.所以M.(2)设直线l的方程为x=my+1,由得(m2+3)y2+2my-2=0,显然m∈R.设E(x1,y1),F(x2,y2),则E1(3,y1),F1(3,y2).则y1+y2=,y1y2=.因为λ=S1S2=(3-x1)

13、y1

14、·(3-x2)

15、y2

16、=(2-my1)(2-my2)

17、y1y2

18、=[4-2m(y1+y2)+m2y1y2]

19、y1y2

20、=·==-+.因为∈,所以实数λ的取值范围是.典例2(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=

21、1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.考点二　圆锥曲线中的定点、定值问题解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.又c==,所以离心率e==.(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而

22、BM

23、=1-yM=1+.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,

24、得xN=-,从而

25、AN

26、=2-xN=2+.所以四边形ABNM的面积S=

27、AN

28、·

29、BM

30、====2.从而四边形ABNM的面积为定值.1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.方法技巧2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2-1(2016北京

31、东城期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,),且满足a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A,B,点M的坐标为(2,1),设直线MA与MB的斜率为k1,k2.①若直线过椭圆C的左顶点,求此时k1,k2的值;②试探究k1+k2是否为定值,并说明理由.解析(1)由椭圆过点(0,),得b=.因为a+b=3,故a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)①若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是l:y=x+,由解得或故k1=-,k2=.②k1+k2为定值,且k1+k2=0.设直线的方程为y=x+m.由消去y

32、,得x2+2mx+2m2-4=0.当Δ=4m2-8m2+16>0,即-2