2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件文

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1、第九节　圆锥曲线的综合问题总纲目录考点突破考点二　圆锥曲线中的定义、定值问题考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题考点三　圆锥曲线中的探索性问题考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题典例1(2017山西太原模拟)已知椭圆M:+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左,右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求

2、S1-S2

3、的最大值.考点突破解析(1)由题意知c=1,b2=3,所以a2=4,所以椭圆M的方程为+=

4、1,易求得直线方程为y=x+1,联立方程,得消去y,得7x2+8x-8=0,Δ=288>0,设C(x1,y1),D(x2,y2),所以x1+x2=-,x1x2=-,所以

5、CD

6、=

7、x1-x2

8、=.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC的面积相等,

9、S1-S2

10、=0;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),联立方程,得消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+144>0,故x1+x2=-,x1

11、x2=,此时

12、S1-S2

13、=2

14、

15、y2

16、-

17、y1

18、

19、=2

20、y2+y1

21、=2

22、k(x2+1)+k(x1+1)

23、=2

24、k(x2+x1)+2k

25、=,因为k≠0,所以

26、S1-S2

27、=≤==,所以

28、S1-S2

29、的最大值为.方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.1-1(2017云南第一次统一检测

30、)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA、TB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P、Q两点,求·+·的取值范围.解析(1)由题意可知A(-4,0),B(4,0).设T(x,y),则直线TA的斜率为k1=,直线TB的斜率为k2=.于是由k1k2=-,得·=-,整理得+=1.(2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由消去y,得(4k2+3)x

31、2+16kx-32=0,由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,从而,·+·=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4==-20+,因为k2≥0,所以-20<·+·≤-,当直线PQ的斜率不存在时,·+·的值为-20.综上所述,·+·的取值范围为.典例2(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于

32、OQ的直线l过C的左焦点F.考点二　圆锥曲线中的定义、定值问题解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,

33、即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.方法技巧2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2-1(2017陕西宝鸡质量检测(一))已知椭圆C:+=1

34、(a>b>0)经过(1,1)与两点.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足

35、MA

36、=

37、MB

38、.求证:++为定值.解析(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程,得解得∴椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由

39、MA

40、=

41、MB

42、,知M在线段AB的垂直平