2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题练习 理

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1、§9.8　圆锥曲线的综合问题考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.定值与最值及范围问题掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围问题掌握2017课标全国Ⅰ,20;2017浙江,21;2017山东,21;2016课标全国Ⅱ,20;2016北京,19;2016山东,21;2015浙江,19;2014四川,10;2014浙江,21解答题★★★2.存在性问题了解并掌握与圆锥曲线有关的存在性问题掌握2014山东,21;2013江西,20解答题★★☆分析解读　1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值

2、范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.五年高考考点一　定值与最值及范围问题1.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求

3、PA

4、·

5、PQ

6、的最大值.解析　(1)设直线AP的斜率为k,k==x-,因为-

7、).(2)解法一:联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=.因为

8、PA

9、==(k+1),

10、PQ

11、=(xQ-x)=-,所以

12、PA

13、·

14、PQ

15、=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,

16、PA

17、·

18、PQ

19、取得最大值.解法二:如图,连接BP,

20、AP

21、·

22、PQ

23、=

24、AP

25、·

26、PB

27、·cos∠BPQ=·(-)=·-.易知P(x,x2),则·=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2+=x4+x2+x+.∴

28、AP

29、·

30、PQ

31、=-x4+x2+x+.设f(x

32、)=-x4+x2+x+,则f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,∴f(x)在上为增函数,在上为减函数,∴f(x)max=f(1)=.故

33、AP

34、·

35、PQ

36、的最大值为.2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC延长线上一点,且

37、MC

38、∶

39、AB

40、=2∶3,☉M的半径为

41、MC

42、,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率

43、.解析　(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,所以

44、AB

45、=

46、x1-x2

47、=.由题意可知圆M的半径r=

48、AB

49、=·.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.联立得x2=,y2=,因此

50、OC

51、==.由题意可知sin==,而==,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=·=·=·≥1,当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin≤,因此≤,所以∠SOT的最大值为.综上所述:∠SOT的最

52、大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=±.3.(2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,

53、AM

54、=

55、AN

56、时,求△AMN的面积;(2)当2

57、AM

58、=

59、AN

60、时,求k的取值范围.解析　(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.(4分)因此△AMN的面积S△AM

61、N=2×××=.(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.(7分)由x1·(-)=得x1=,故

62、AM

63、=

64、x1+

65、=.(8分)由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得

66、AN

67、=.(9分)由2

68、AM

69、=

70、AN

71、得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.(1